高等代数理论基础41：线性子空间

线性子空间

定义

定义：数域P上线性空间V的一个非空子集合W,若W对V的两种运算也构成数域P上的线性空间,则W称为V的一个线性子空间,简称子空间

条件：

设W是V的子集合

1.若W中包含向量 $\alpha$ ,则W一定同时包含域P中的数k与 $\alpha$ 的数量乘积 $k\alpha$

2.若W中包含向量 $\alpha,\beta$ ,则W一定同时包含 $\alpha$ 与 $\beta$ 的和 $\alpha+\beta$

3.0在W中

4.若W中包含向量 $\alpha$ ,则 $-\alpha$ 也在W中

定理：若线性空间V的非空子集合W对于V的两种运算是封闭的,即满足上述条件1,2,则W为一个子空间

注：任何一个线性子空间的维数不能超过整个空间的维数

例

1.在线性空间中,由单个的零向量所组成的子集合是一个线性空间,称为零子空间

2.线性空间V本身也是V的一个子空间

注：在线性空间中,零子空间和线性空间本身这两个子空间称为平凡子空间,其他的线性子空间称为非平凡子空间

3.在全体实函数组成的空间中,所有实系数多项式组成一个子空间=

4. $P[x]_n$ 是线性空间 $P[x]$ 的子空间

5.在线性空间 $P^n$ 中,齐次线性方程组

$\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+x_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+\cdots+a_{sn}x_n=0\end{cases}$

的全部解向量组成一个子空间,称为齐次线性方程组的解空间

注：解空间的基即方程组的基础解系,维数等于n-r,其中r为系数矩阵的秩

6.设 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$ 是线性空间V中一组向量,这组向量所有可能的线性组合 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r$ 所成的集合非空,且对两种运算封闭,是V的一个子空间,称为由 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$ 生成的子空间,记作 $L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r)$

注：

(1)由子空间的定义,若V的一个子空间包含 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$ ,则一定包含它们所有的线性组合,即包含 $L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r)$

(2)在有限维线性空间中,任一子空间都可这样得到,设W是V的一个子空间,显然W是有限维的,设 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$ 是W的一组基,则 $W=L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r)$

定理

定理：两个向量组生成相同子空间 $\Leftrightarrow$ 两个向量组等价

证明：

$设\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r与\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s是两个向量组$

$必要性$

$若L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r)=L(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s)$

$则\alpha_i(i=1,2,\cdots,r)\in L(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s)都可被\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s线性表出$

$同理\beta_j(j=1,2,\cdots,s)\in L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r)都可被\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r线性表出$

$\therefore 两个向量组等价$

$充分性$

$若两个向量组等价$

$则可被\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r线性表出的向量都可被\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s线性表出$

$反之亦成立$

$\therefore L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r)=L(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s)\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理： $L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r)$ 的维数等于向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$ 的秩

证明：

$设向量组\alpha_1,\alpha_r,\cdots,\alpha_r的秩为s$

$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s是一个极大无关组$

$\because \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r与\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s等价$

$\therefore L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r)=L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)$

$\therefore \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s为L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r)的一组基$

$\therefore L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r)的维数是s\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理：设W是数域P上n维线性空间V的一个m维子空间, $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$ 是W的一组基,则这组向量必可扩充维整个空间的基,即在V中必可找到n-m个向量 $\alpha_{m+1},\alpha_{m+2},\cdots,\alpha_n$ 使 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 是V的一组基

证明：

$对维数差n-m作归纳法$

$n-m=0时,\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m已经是V的基$

$结论显然成立$

$假设n-m=k时结论成立$

$n-m=k+1时$

$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m不是V的一组基且线性无关$

$则V中必定有\alpha_{m+1}不能被\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m线性表出$

$将\alpha_{m+1}添加进去$

$则\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m,\alpha_{m+1}必线性无关$

$\therefore L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m,\alpha_{m+1})是m+1维的$

$n-(m+1)=(n-m)-1=k+1-1=k$

$由归纳假设$

$L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m,\alpha_{m+1})的基\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m,\alpha_{m+1}可扩充为整个空间的基\qquad\mathcal{Q.E.D}$

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