第十四讲无穷级数

有两种无穷级数：常数项级数和幂级数

常数项级数

级数的概念和敛散性
概念：给定一个无穷数列 $u_1,u_2,...,u_n,...$ ，将其各项用加号连起来得到的记号 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n=u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$
称其为无穷级数，简称级数，其中 $u_n$ 叫做该级数的通项。
若 $u_n$ 是一个常数而不是函数，那么称其为常数项无穷级数，简称常数项级数。
部分和：就是在无穷数列中取n项求和，称为部分和
有了部分和，就可以使用极限来求无穷项和：1.写出部分和 $S_n$ ；2.写成部分和表达式后求极限 $\lim_{n\to\infty}S_n$ 。
敛散性：如果 $\lim_{n\to\infty}S_n=S$ ，则 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 收敛，并称 $S$ 为该收敛级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 的和；而如果 $\lim_{n\to\infty}S_n$ 不存在或为 $\pm\infty$ ，则称 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 发散

例题
判断几何级数(也称等比级数)
$\sum_{n=1}^{\infty}aq^{n-1} = a + aq + aq^2+\cdots+aq^{n-1}+\cdots$
的敛散性，其中 $a\ne 0$
解： $S_n=\frac{a(1-q^n)}{1-q}$
i. 当 $|q|\lt 1$ 时， $\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{a}{1-q}$
ii. 当 $|q|\gt 1$ 时， $\lim_{n\to\infty}S_n$ 不存在
iii. 当 $q=1$ 时， $\lim_{n\to\infty}S_n$ 不存在
当 $q=-1$ 时，奇数项部分和等于a，偶数项部分和等于1， $\lim_{n\to\infty}S_n$ 不存在

性质：
性质1：若级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n,\sum_{n=1}^\infty v_n$ 均收敛，且其和分别为 $S,T$ ，则任给常数 $a,b$ ，有：
$\sum_{n=1}^\infty(au_n+bv_n) = aS+bT$
这个性质称为收敛级数的线性性质。
m项后余项：去掉级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 的前m项，将得到de的 $\sum_{n=m+1}^\infty u_n=u_{m+1}+u_{m+2}+\cdots$ 称为该级数的m项后余项
性质2：如果级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 收敛，则其任意m项后余项 $\sum_{n=m+1}^\infty u_n$ 也收敛；反之，如果存在m项后余项 $\sum_{n=m+1}^\infty u_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 也收敛
性质3： $\color{red}{(重要等级三颗星)}$
如果 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 收敛，则 $\lim_{n\to\infty}u_n=0$ ，这个性质是级数收敛的必要条件

证明
由于 $u_n=S_n-S_{n-1}$ ，故 $\lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}(S_n-S_{n-1}) = \lim_{n\to\infty}S_n-\lim_{n\to\infty}S_{n-1}=S-S=0$

正项级数敛散性的判别方法
正项级数：若通项 $u_n\ge 0,n=1,2,\cdots$ ，则称 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 为正项级数

正项级数的收敛原则：正项级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 收敛的充分必要条件是它的部分和数列{ $S_n$ }有界
所以判断正项级数敛散性的方法一般是对其部分和进行一个放缩，然后再做进一步的判断

例题1：
判断级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}$ 的敛散性
$S_n=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}\gt n\cdot \frac{1}{\sqrt{n}} = \sqrt{n}$
故 $\lim_{n\to\infty} S_n\gt \lim_{n\to\infty}\sqrt{n} = +\infty$
故{ $S_n$ }无界
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$ 发散
例题2：
判断级数 $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n!}$ 的敛散性
$S_n=1+\frac{1}{1*2}+\frac{1}{1*2*3}+\cdots+\frac{1}{n!}$
$S_n\lt 1+\frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+\cdots+\frac{1}{n*(n-1)}$
$S_n\lt 1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=2-\frac{1}{n}\lt 2$
故{ $S_n$ }有界
级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!}$ 收敛

比较判别法：给出两个正项级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 和 $\sum_{n=1}^\infty v_n$ ，如果从某项起有 $u_n\le v_n$ 成立，则
1.若 $\sum_{n=1}^\infty v_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 也收敛
2.若 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 发散，则 $\sum_{n=1}^\infty v_n$ 也发散

例题
判断级数 $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ 的敛散性
由基本不等式 $x\gt \ln(x+1),(x\gt 0)$ 得， $\frac{1}{n}\gt \ln(1+\frac{1}{n})$
$\ln(1+\frac{1}{n}) = \ln\frac{n+1}{n} = \ln(n+1)-\ln n$
所以级数 $\sum_{n=1}^\infty\ln(1+\frac{1}{n})$ 的部分和为
$S_n=\ln2 -\ln1 + \ln3-\ln2+\cdots+\ln (n+1)-\ln n = \ln(n+1)$
$\lim_{n\to\infty}S_n=+\infty$
故级数 $\sum_{n=1}^\infty\ln(1+\frac{1}{n})$ 发散
而 $\frac{1}{n}\gt \ln(1+\frac{1}{n})$
故级数 $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ 也是发散的

$\color{red}{p-级数}：\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}\begin{cases}|p|\gt 1，收敛\\|p|\le 1，发散\end{cases}$
$\color{red}{广义p级数}：\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n(\ln n)^p}\begin{cases}p\gt 1,收敛\\p\le 1,发散\end{cases}$

比较判别法的极限形式
一般的比较判别法通常是使用不等式来对级数进行放缩，但是这种方法存在一定的局限性。
而比较判别法的极限形式作为比较判别法的一个推论，有着更大的应用范围
前面提到过，级数收敛的必要条件是 $\lim_{n\to\infty}u_n=0$ ，所以可以通过比较两个无穷小的阶来使用比较判别法：
给定两个正项级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 和 $\sum_{n=1}^\infty v_n,v_n\ne 0$ ，且 $\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=A$ ，则
1.若A=0，则当 $\sum_{n=1}^\infty v_n$ 收敛时， $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 也收敛
2.若A=+ $\infty$ ，则当 $\sum_{n=1}^\infty v_n$ 发散时， $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 也发散
3.若0<A< $+\infty$ ，则 $\sum_{n=1}^\infty v_n$ 和 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 有着相同的敛散性

例题
判断级数 $\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{n}-\sin\frac{1}{n})$ 的敛散性
$\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}-\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^3}} = \frac{1}{6}$
因为 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}$ 是p=3的p级数，故级数 $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3}$ 是收敛的
故级数 $\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{n}-\sin\frac{1}{n})$ 也是收敛的

比值判别法(也称达朗贝尔判别法) $\color{red}{(重要等级一颗星)}$
给定一个正项级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ ，如果 $\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$ ，则
$\begin{cases}\rho\lt 1\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty u_n收敛\\\rho\gt 1\Rightarrow \sum_{n=1}^\infty u_n发散 \end{cases}$
若 $\rho=1$ 则这个方法失效
比值判别法一般用于通项表达式中有 $n!$ 或者 $a^n$ 的情况

例题
判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|a|^nn!}{n^n}$ 的敛散性，其中a为非零常数
记 $u_n=\frac{|a|^nn!}{n^n}$
则 $\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}$
$=\lim_{n\to\infty}\frac{|a|^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{|a|^nn!}$
$=\lim_{n\to\infty}|a|(\frac{n}{n+1})^n$
$=|a|e^{\lim_{n\to\infty}\ln(\frac{n}{n+1})^n}$
$=\frac{|a|}{e}$
i. 当 $|a|\gt e$ 时，该级数发散
ii. 当 $|a|\lt e$ 时，该级数收敛
iii. 当 $|a| = e$ 时
$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{e}{(1+\frac{1}{n})^n}$
记 $e_n=(1+\frac{1}{n})^n$ ，则
$\sqrt[n+1]{e_n}=\sqrt[n+1]{1\cdot(1+\frac{1}{n})\cdots(1+\frac{1}{n})}$
$\lt\frac{1+n(1+\frac{1}{n})}{n+1}$
$=1+\frac{1}{n+1}=\sqrt[n+1]{e_{n+1}}$
$\color{red}{(\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\le\frac{a_1+\cdots+a_n}{n})}$
故数列{ $e_n$ }是单调增加趋向于e
即 $e_n\lt e$
因此 $\frac{u_{n+1}}{u_n}\gt 1$
$u_n\ge u_1=e$
$u_n\ne 0$
故当|a| = e时，该级数发散

根值判别法(也称为柯西判别法)
给出一个正项级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ ，设 $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho$ ，则
1. $\rho\lt 1\Rightarrow \sum_{n=1}^\infty u_n收敛$
2. $\rho\gt 1\Rightarrow \sum_{n=1}^\infty u_n发散$
和比值判别法一样，当 $\rho =1$ 时，该方法失效
根值判别法一般用于 $n^n$ 或者 $a^n$ 的情况

例题
判别级数 $\sum_{n=1}^\infty(n\sin\frac{1}{n})^{n^3}$ 的敛散性
记 $u_n=(n\sin\frac{1}{n})^{n^3}$ ，则
$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}$
$=\lim_{n\to\infty}(n\sin\frac{1}{n})^{n^2}$
$=e^{\lim_{n\to\infty}n^2(n\sin\frac{1}{n}-1)}$
$=e^{\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}\sin\frac{1}{n}-\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^3}}}$
$=e^{-\frac{1}{6}}\lt 1$
故该级数是收敛的

交错级数敛散性判别方法
交错级数：若级数各项正负相间出现，称这样的级数为级数为交错级数，一般写为：
$\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n = u_1-u_2+\cdots+(-1)^{n-1}u_n+\cdots$
交错级数只有一种判别方法，称为莱布尼茨判别法
莱布尼茨判别法：给出一个交错级数 $\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n,u_n\gt 0$ ，若{ $u_n$ }单调不增且 $\lim_{n\to\infty}u_n=0$ 则该级数收敛
$\color{red}{这类型的题考察的点一般是如何构造(-1)^n，并且判断u_n的单调性}$

例题1：判断级数 $\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\cdot\frac{1}{n}$ 的敛散性
$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0$
$u_n=\frac{1}{n}\gt u_{n+1} = \frac{1}{n+1}$
故该级数收敛
例题2：
判断级数 $\sum_{n=1}^\infty\sin(\pi\sqrt{n^2+a^2})$ 的敛散性，其中a为非零常数
此题需要用到一个公式 $\color{red}{\sin(\alpha+n\pi) = (-1)^n\sin\alpha}$
$u_n=\sin(\pi\sqrt{n^2+a^2})$
$= \sin(\pi\sqrt{n^2+a^2}-n\pi+n\pi)$
$=(-1)^n\sin((\sqrt{n^2+a^2}-n)\pi)$
$=(-1)^n\sin(\frac{a^2}{\sqrt{n^2+a^2}+n}\pi)$
记 $a_n=\sin(\frac{a^2}{\sqrt{n^2+a^2}+n}\pi)$
则 $\lim_{n\to\infty} a_n=0$
$a_n\gt a_{n+1}$
故该级数收敛

任意项级数的敛散性判别
对任意项级数的敛散性判别并没有一个独立的判别方法
绝对收敛：设 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 为任意项级数，若 $\sum_{n=1}^\infty|u_n|$ 收敛，则称 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 绝对收敛
条件收敛：设 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 为任意项级数，若 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 收敛，但 $\sum_{n=1}^\infty |u_n|$ 发散，则称 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 条件收敛
定理1：若任意项级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 绝对收敛，则 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 收敛
定理2：收敛级数的项任意加括号后所得的新级数仍收敛，且其和不变
定理3：若原级数绝对收敛，不论将其各项如何重新排列，所得的新级数也依然绝对收敛，且其和不变。即绝对收敛的级数具有可交换性。

例题
如果常数项级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 收敛，则下列级数必然收敛的是
A. $\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{u_n}{n}$
B. $\sum_{n=1}^\infty u^2_n$
C. $\sum_{n=1}^\infty(u_{2n-1}-u_{2n})$
D. $\sum_{n=1}^\infty(u_n+u_{n+1})$
解：
选项A，设 $u_n=(-1)^n\frac{1}{\ln n}$ ，则 $\sum_{n=1}^\infty(-1)\frac{u_n}{n} = \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n\ln n}$ ，为发散的广义p级数
选项B，设 $u_n=(-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}}$ ，则 $\sum_{n=1}^\infty u^2_n=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ ，为发散级数
选项C，设 $u_n=(-1)^{n-1}\frac{1}{n}$ ，则 $\sum_{n=1}^\infty(u_{2n-1}-u_{2n})=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ ，为发散级数
选项D， $\sum_{n=1}^\infty(u_n+u_{n+1})=\sum_{n=1}^\infty u_n+\sum_{n=1}^\infty u_{n+1}$ ，依然收敛
故，答案选D

幂级数

幂级数及其收敛域
函数项级数：设函数列{ $u_n(x)$ }在定义区间 $I$ 上，称
$u_1(x)+u_2(x)+\cdots+u_n(x)+\cdots$
为定义在区间 $I$ 上的函数项级数，记为 $\sum_{n=0}^\infty u_n(x)$ ，当 $x$ 取固定值 $x_0$ 时，函数项级数变为常数项级数
幂级数：若 $\sum_{n=0}^\infty u_n(x)$ 的一般项 $u_n(x)$ 是n次幂函数，则称 $\sum_{n=0}^\infty u_n(x)$ 为幂级数，它是一种特殊且常用的函数项级数
其一般形式为：
$\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n = a_0+a_1(x-x_0)+\cdots+a_n(x-x_0)^n+\cdots$
其标准形式为：
$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n+\cdots$
其中 $a_n$ 为幂级数的系数
收敛点与发散点：若给定 $x_0\in I$ ，有 $\sum_{n=0}^\infty u_n(x_0)$ 收敛，则称点 $x_0$ 为该级数的收敛点；若给定 $x_0\in I$ ，有 $\sum_{n=0}^\infty u_n(x_0)$ 发散，则称点 $x_0$ 为该级数的发散点。
收敛域：函数项级数 $\sum_{n=0}^\infty u_n(x)$ 的所有收敛点的集合称为它的收敛域
收敛域的求法
对于标准幂级数，其收敛域求法为：
1.设 $\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho$ ，则 $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 的收敛半径R的表达式为
$R=\begin{cases}\frac{1}{\rho},\rho\ne 0\\+\infty,\rho=0\\0,\rho=+\infty\end{cases}$
则开区间 $(-R,R)$ 为幂级数 $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 的收敛区间；
2.单独考察幂级数在 $x=\pm R$ 处的敛散性从而确定其敛散域
对于一般幂级数，其收敛于求法为：
1.令 $\lim_{n\to\infty}\frac{|u_{n+1}(x)|}{|u_n(x)|}\lt 1$ 或 $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|u_n(x)|}\lt 1$
解上列不等式得到区间 $x\in (a,b)$ ，称该区间为此幂级数的收敛区间
2.单独考察 $x=a$ 和 $x=b$ 处的敛散性，从而给出完整的收敛域

例题（标准幂级数的收敛域）
求幂级数 $\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}$ 的收敛域
$\rho=\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \lim_{n\to\infty}|\frac{1}{n+1}|\cdot|n|=1$
故收敛区间为(-1,1)
当x=1时，该幂级数为 $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ ，为发散的
当x=-1时，该幂级数为 $\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{1}{n}$ ，为收敛的
故收敛域为[-1,1)

抽象型问题
结论1：根据阿贝尔定理，已知 $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ 在某点 $x_1(x_1\ne x_0)$ 的敛散性，则可以分以下三种情况来判断该幂级数的收敛半径：
1.若在 $x_1$ 处收敛，则收敛半径 $R\ge |x_1-x_0|$
2.若在 $x_1$ 处发散，则收敛半径 $R\le |x_1-x_0|$
3.若在 $x_1$ 处条件收敛，则收敛半径 $R=|x_1-x_0|\color{red}{(重要考点)}$
结论2：已知 $\sum a_n(x-x_1)^n$ 的敛散性信息，要求讨论 $\sum b_n(x-x_2)^m$ 的敛散性
对于 $(x-x_1)^n$ 与 $(x-x_2)^m$ 的转化，一般通过初等变形来完成，包括平移收敛区间；提出或者乘以因式 $(x-x_0)^k$ 等
对于 $a_n$ 与 $b_n$ 之间的转化，一般通过微积分变形来完成，包括对级数逐项求导；对级数逐项积分等
在以下三种情况下，收敛半径不会改变，而收敛域则需要具体问题具体分析
1.对级数提出或者乘以因式 $(x-x_0)^k$ ，或者作平移等，收敛半径不变
2.对级数逐项求导，收敛半径不变，收敛域可能缩小
3.对级数逐项积分，收敛半径不变，收敛域可能扩大

例题
设 $\sum_{n=1}^\infty a_n(x+1)^n$ 在点 $x=1$ 处条件收敛，求幂级数 $\sum_{n=1}^\infty na_n(x-1)^n$ 在点 $x=2$ 处的敛散性。
解
对于级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n(x-(-1))^n$ 其收敛半径为 $R=2$ ，收敛中心为 $x=-1$
所以其收敛区间为 $(-3,1)$
现对其进行平移，得到 $\sum_{n=1}^\infty a_n(x-1)^n$ ，其收敛区间为 $(-1,3)$
再对级数进行求导，得到 $\sum_{n=1}^\infty na_n(x-1)^{n-1}$ ，其收敛区间依然为 $(-1,3)$
最后再乘以因式 $(x-1)$ ，得到 $\sum_{n=1}^\infty na_n(x-1)^n$ ，其收敛区间为 $(-1,3)$
因为 $x=2\in (-1,3)$
故该级数在 $x=2$ 处绝对收敛

幂级数求和函数
在收敛域上，记 $S(x) = \sum_{n=1}^\infty u_n(x)$ ，并称 $S(x)$ 为 $\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$ 的和函数
和函数的运算法则：若幂级数 $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 与 $\sum_{n=0}^\infty b_nx^n$ 的收敛半径分别为 $R_a,R_b,R_a\ne R_b$ ，则
1. $k\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty ka_nx^n,|x|\lt R_a$ ，k为常数
2.两个幂级数相加满足：
$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\pm\sum_{n=0}^\infty b_n x^n=\sum_{n=0}^\infty (a_n\pm b_n)x^n,|x|\lt R=\min\lbrace R_a,R_b\rbrace$
两个幂级数相加必须满足其下标相同，并且次数也相同；
如果出现不满足条件的情况，则可以通过下面三种变换使其满足相加的条件：
1.通项、下标一起变： $\sum_{n=k}^\infty a_nx^n=\sum_{n=k+l}^\infty a_{n-l}x^{n-l}$
2.只变下标不变通项： $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=a_0+\cdots+a_{k-1}x^{k-1}+\sum_{n=k}^\infty a_nx^n$
3.只变通项不变下标： $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=x^{l}\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n-l}$

例题：将 $\sum_{n=0}^\infty a_nx^{2n}+\sum_{n=0}^\infty b_{n+1}x^{2n+2}$ 写成通项和的形式
$\sum_{n=0}^\infty a_nx^{2n}+\sum_{n=0}^\infty b_{n+1}x^{2n+2}$
$=\sum_{n=0}^\infty a_nx^{2n}+\sum_{n=1}^\infty b_nx^{2n}$
$=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_nx^{2n}+\sum_{n=1}^\infty b_nx^{2n}$
$=a_0+\sum_{n=1}^\infty(a_n+b_n)x^{2n}$

和函数的性质：

和函数在其对应幂级数的收敛域上连续
和函数在其对应幂级数的收敛域上可积，且有逐项积分公式
$\int_0^xS(t)dt=\int_0^x(\sum_{n=0}^\infty a_nt^n)dt=\sum_{n=0}^\infty a_n\int_0^xt^ndt=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_nx^{n+1}}{n+1}(x\in I)$
逐项积分后所得到的幂级数与原来的级数有着相同的收敛半径，但是收敛域可能会扩大
和函数在其对应幂级数的收敛域上可导，且有逐项求导公式
$S'(x)=(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n)'=\sum_{n=0}^\infty(a_nx^n)'=\sum_{n=0}^\infty na_nx^{n-1}(|x|\lt R)$
逐项求导后所得到的级数和原来的级数有着相同的收敛半径，但是收敛域可能会缩小

例题1 $\color{red}{(n在分母上，先导后积)}$
求 $\sum_{n=1}\frac{x^n}{n}$ 的和函数
最容易想到的展开公式是 $\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x},|x|\lt 1$
所以需要对其进行变形，使其能够使用上面的展开式
显而易见，如果对通项进行一次逐项求导就能对其使用展开公式，但是为了使原式不变，还需要对其积分，所以最容易想到的方法是
$\int(S(x))'dx=S(x)+c\ne S(x)$
所以这里要使用定积分
$\color{red}{\int_{x_0}^x(S(t))'dt = S(x)-S(x_0)}$
$\color{red}{S(x)=S(x_0)+\int_{x_0}^x(S(t))'dt}$
令 $S(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}$ ，则
$S(x) = S(0)+\int_0^x (S(t))'dt$
$S(x) = \int_0^x(\sum_{n=1}^\infty\frac{t^n}{n})'dt$
$=\int_0^x(\sum_{n=1}^\infty t^{n-1})dt$
$=\int_0^x\frac{1}{1-t}dt$
$=-\ln(1-x),(-1\le x\lt 1)$

例题2 $\color{red}{(n在分子上，先积后导)}$
求级数 $\sum_{n=1}^\infty nx^n$ 的和函数
同样的，需要对其进行变形使其能够使用展开公式
$\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}$
可以直接使用先积分后求导的方法进行变形，即
$S(x) = (\int S(x)dx)'$
令 $S(x) = \sum_{n=1}^\infty nx^n$ ，则
$S(x) = x\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}$
$=x(\int\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1})'$
$=x(\sum_{n=1}^\infty x^n)'$
$=x(\frac{1}{1-x})'$
$=\frac{x}{(1-x)^2}$

函数展开成幂级数
泰勒级数：如果函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处存在任意阶导数，则称
$f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x-x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\cdots$
为函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的泰勒级数
特别地，当 $x_0=0$ 时，称这个级数为麦克劳林级数
如果该级数收敛，则 $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$
求一个函数的幂级数有两种：
一种是直接按照公式进行计算，这种方法太麻烦，一般不用
另一种方法是利用已知的幂级数展开式，通过变量代换、四则运算、逐项求导、逐项积分和待定系数等方法得到函数的展开式

例题
求函数 $f(x)=\arctan x$ 在 $x=0$ 处的幂级数展开
由于常用的展开公式中并没有 $\arctan x$ 的展开，所以需要进行一定的处理
$(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{1-(-x^2)}$
$=\sum_{n=0}^\infty(-x^2)^n$
$=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^{2n}$
故 $f(x) = f(0)+\int_0^x(f(t))'dt$
$=\int_0^x\sum_{n=0}^\infty(-1)^nt^{2n}dt$
$=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$
由于 $\sum_{n=0}^\infty (-x^2)^n$ 的收敛域为 $|-x^2|\lt 1,|x|\lt 1$
所以此函数展开的幂级数的收敛区间为 $(-1,1)$ ，然后讨论端点的敛散性
当 $x=-1$ 时， $f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{3n+1}}{2n+1}$ ，是一个收敛的交错级数
当 $x=1$ 时， $f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}$ ，同样是一个收敛的交错级数
故此级数的收敛域为 $[-1,1]$

第十四讲 无穷级数

常数项级数

幂级数

第十四讲无穷级数