例题

要设计一个容积为V的长方体开口水箱，如何确定长、宽、高，使水箱的表面积最小？

小学生是这样做的

V=长×宽×高
宽 = V÷长÷高
长 = V÷宽÷高
高 = V÷长÷宽
表面积 = 2×长×高+2×宽×高+长×宽

小学生发现，长和宽是等价的，只要换个角度观察就能交换它们，
V÷高 = 长×宽，
表面积÷高 = 2×长+2×宽+长×宽÷高

假设高为单位1（不变），那么
V = 长×宽
表面积 = 2×长+2×宽+长×宽
表面积 = 2×V÷长+2×V÷宽+V
表面积 ÷ V= 2÷长+2÷宽+1

假设V也是1，
表面积 = 2÷长+2÷宽+1
从这个可以看出来，长和宽的都是越大越好（表面积小），当长大于宽时，“宽增加1”与“长增加1”相比，“宽增加1”效果更好，所以，最好的方案是，在长和宽相等的时候，增加相同的长和宽。

于是把上面的东西简化为：

边长×边长 = V÷高
高 = V÷(边长×边长)
表面积 = 4×边长×高+边长×边长

把表面积计算中的“高”换成“边长”和“V”：

表面积 = 4×边长×V÷(边长×边长)+边长×边长

化简得
表面积 = 4×V÷边长+边长×边长

V是一个常数，设A = 4×V，那么还能继续简化为
表面积 = A÷边长+边长×边长

随着边长变大：A÷边长变小，越来越慢；边长×边长变大，越来越快；
当 A÷边长变小的速度大于边长×边长变大的速度时，表面积变小；
当 A÷边长变小的速度小于边长×边长变大的速度时，表面积变大；
当 A÷边长变小的速度等于边长×边长变大的速度时，表面积最小。

怎样计算随着边长变大，A÷边长变小的速度？
取一段很小的边长的变化范围，用这个范围内的“A÷边长的变化量”除以“边长的变化量即变化范围的高位减低位”，即可得到某个范围内“A÷边长变小的速度”。

设这个很小的边长的范围为从x到x+a的一段，那么，
当(A÷(x+a)-A÷x)÷a=((x+a)×(x+a)-x×x)÷a×(-1)时（某个速度要乘以-1，因为变大的速度为正，变小的速度为负），表面积最小。
解这个方程，
A÷(x+a)-A÷x=((x+a)×(x+a)-x×x)
(A×x-A×(x+a))÷((x+a)×x)=(x×x+a×a+2×a×x-x×x)×(-1)
A×a=(a×a+2×a×x)×(x×x+a×x)
A×a=a×(a+2×x)×(x×x+a×x)
A=(a+2×x)×(x×x+a×x)
A=a×x×x+a×a×x+2×x×x×x+2×x×a×x
A=3×a×x×x+a×a×x+2×x×x×x
由于a是个很小的数，所以可以把乘a的部分认为是0就行了。
A=0+0+2×x×x×x
A÷2=x×x×x

只需找到一个正数x，令x×x×x=A÷2（A=4×V），那么，边长就确定为x了。
“2×V的正立方根”就是最佳的长和宽，V÷“2×V的正立方根的平方”就是最佳的高。
（不得不佩服小学生的智商）

用拉格朗日乘数法做

解：设水箱的长、宽、高分别为x,y,z，则水箱容积V(x,y,z)=xyz，焊制水箱用去的钢板面积为S(x,y,z)=2xz+2yz+xy。
转化为一个求函数S在V限制下的最小值问题。
设拉格朗日函数F(x,y,z,λ)=S(x,y,z)+λV(x,y,z)，λ叫做拉格朗日乘数。
令F(x,y,z,λ)对x、y、z的一阶偏导数等于零，对λ的一阶偏导数等于容积（常数）：
F'x=S'x(x,y,z)+λV'x(x,y,z)=0;
F'y=S'y(x,y,z)+λV'y(x,y,z)=0;
F'z=S'z(x,y,z)+λV'z(x,y,z)=0;
F'λ=V(x,y,z)=V.
解这个方程组（见代码），即可得到符合条件的x,y,z的值

实验室代码

>>> from sympy import *
>>> from sympy.abc import *
>>> F = 2*x*z+2*y*z+x*y+lamda*x*y*z
>>> eq_a = Eq(diff(F,x,1),0)
>>> eq_b = Eq(diff(F,y,1),0)
>>> eq_c = Eq(diff(F,z,1),0)
>>> eq_d = Eq(diff(F,lamda,1),V)
>>> solve([eq_a,eq_b,eq_c,eq_d])
[{V: 0, x: 0, y: 0, z: 0}, {V: 4*z**3, lamda: -2/z, x: 2*z, y: 2*z}]

得到了两组解，{V: 0, x: 0, y: 0, z: 0}这组解无意义，我们采
{V=4z^3, x=2z, y=2z}这组解。
这组解的意思是，当V=4z^3时， 2xz+2yz+xy取到极小值。
或者说，当V=2x^3时，2xz+2yz+xy取到极小值。