林哈德函数（Lindhard Function）

林哈德函数（Lindhard Function）定义为

$\mathcal{L}(\vec q,\omega) = 2 \sum\limits_k \frac{ n_k - n_{k+q} }{ \hbar \left( \omega - \omega_{kq} \right) + i \eta }$

考虑变换

$\vec k \to - \vec k - \vec q$

$\vec k + \vec q \to - k$

并且

$\omega_{kq } \to - \omega_{kq}$

$n_k \to n_{-k-q} = n_{k+q}$

$n_{k + q} \to n_{-k} = n_k$

这里考虑电子的色散关系是自由的

$E_k = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$

对应费米面是球对称的。

在以上变换下，林哈德函数（Lindhard Function）可以改写为

$\mathcal{L}(\vec q,\omega) = - 2 \sum\limits_k \frac{ n_k - n_{k+q} }{ \hbar \left( \omega + \omega_{kq} \right) + i \eta }$

把这两种表示“拼”在一起

$\mathcal{L}(\vec q,\omega) = \sum\limits_k \left( n_k - n_{k + q} \right) \left\{ \frac{1}{\hbar \left( \omega - \omega_{kq} \right) + i \eta} - \frac{1}{ \hbar \left( \omega + \omega_{kq} \right) + i \eta } \right\}$

首先小括号中的部分可恒等变形为

$n_k - n_{k+q} = n_k \left( 1- n_{k+q} \right) - n_{k+q} \left( 1-n_k \right)$

上式中两项分别乘以大括号中的表达式，对其中的第二项考虑变换

$k \to - k -q$

$k + q \to -k$

以及（因为还要乘以大括号中的内容）

$\omega_{kq} \to - \omega_{kq}$

林哈德函数整理后得到

$\mathcal{L}(\vec q,\omega) = 2 \sum\limits_k n_k \left( 1-n_{k+q} \right) \left\{ \frac{1}{\hbar \left( \omega - \omega_{kq} \right) + i \eta} - \frac{1}{ \hbar \left( \omega + \omega_{kq} \right) + i \eta } \right\}$

这个函数是复函数，取其实部

$\Re \mathcal{L}(\vec q,\omega) = \frac{2}{\hbar} \sum\limits_k n_k \left( 1 - n_{k + q} \right) \frac{2 \omega_{kq}}{\omega^2 - \omega_{kq}^2}$

上式中第二项

$...\sum\limits_k n_k n_{k + q} \frac{\omega_{kq}}{\omega^2 - \omega_{kq}^2}$

在变换

$k \to - k - q$

$k+ q \to -k$

$\omega_{kq} = - \omega_{kq}$

中，上式是“奇”函数，因此对波矢k的求和为0。

$\Re \mathcal{L}(\vec q,\omega) = \frac{4}{\hbar} \sum\limits_k n_k \frac{ \omega_{kq}}{ \omega^2 - \omega_{kq}^2}$

Bohm, D. and Pines, D., PR 82, 625 (1951);

The Lindhard Function and the Teaching of Solid State Physics

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 206,839评论 6赞 482
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 88,543评论 2赞 382
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 153,116评论 0赞 344
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 55,371评论 1赞 279
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 64,384评论 5赞 374
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 49,111评论 1赞 285
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 38,416评论 3赞 400
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 37,053评论 0赞 259
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 43,558评论 1赞 300
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 36,007评论 2赞 325
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 38,117评论 1赞 334
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 33,756评论 4赞 324
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 39,324评论 3赞 307
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 30,315评论 0赞 19
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 31,539评论 1赞 262
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 45,578评论 2赞 355
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 42,877评论 2赞 345

林哈德函数（Lindhard Function）

推荐阅读更多精彩内容