机器学习之旅—决策树(2)

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信息熵公式的推导

学过概率后,如果两个事件 x 和 y 是独立，这个应该不难理解 $P(x,y) = P(x) \cdot P(y)$
首先我们已经知道了信息熵和概率关系是成反比，也就是说概率越大信息熵越小，这个应该也不难理解，如果一个一定会发生事，例如太阳从东方升起，这个事件给我们带来信息量非常小

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我们知道 $\ln x$ 函数模样如下图， $\ln x$ 是一个增函数

lnx

如果对函数添加负号就变成减函数，而且在 0 - 1 区间函数值符号我们要求就是在 1 时函数值为 0 而接近 0 时为无穷大

-lnx

然后我们进步想象一下如果希望两个事件的信息量也是可以做加减
$H(y|x) = H(x,y) - H(x)$

而且 $\ln$ 本质还可将乘法变成加法，这符合我们对熵表达

X	0	1
概率	1 - p	p
信息量	-ln (1 - p)	-ln p
期望

大家都知道信息熵很大事件并不是大概率事件，所有我们根据期望公式对 logP 求期望就得
信息熵的概念
$E(\log P) = -(1 - p) \cdot \ln(1 - p) - p \cdot \ln p$
$E(\log P) = - \sum_{i=1}^n P_i \log P_i$
上面离散情况下求信息熵
$H(X) \approx \int_0^{f(x)} \log f(x) dx$

条件熵公式的推导

我们知道x 和 y 的熵，也知道 x 的熵
如果我们用 H(x,y) 减去 H(x) 的熵，那么就等价了 x 是确定性
也就是在已知 x 的条件下计算 y 的熵，这就是条件熵的概念
$H(X,Y) - H(X)$

在 x 给定掉件 y 的信息熵，(x,y) 发生所包含的熵，减去 X 单独发生包含的熵:在 x 发生的前提下, y 发生新带来的熵。
$H(Y|X) = H(X,Y) - H(X)$
下面我们来推导一下条件熵

$= - \sum_{x,y} p(x,y) \log p(x,y) + \sum_{x} p(x) \log p(x)$
公式中 $p(x)$ 可以写出 $\sum_y p(x,y)$ 把所有的 y 加起来,进行积分去掉 y
$= - \sum_{x,y} p(x,y) \log p(x,y) + \sum_{x} (\sum_y p(x,y)) \log p(x)$
$= - \sum_{x,y} p(x,y) \log p(x,y) + \sum_{x,y} p(x,y) \log p(x)$

$= - \sum_{x,y} p(x,y) \log p(x,y) + \sum_{x,y} p(x,y) p(x)$

$= - \sum_{x,y} p(x,y) \log \frac{p(x,y)}{p(x)}$
那么我们利用学过概率就知道 $\frac{p(x,y)}{p(x)} = p(y|x)$

$= -\sum_{x,y} p(x,y) log p(y|x)$

上面推导的公式结果 $-\sum_{x,y} p(x,y) log p(y|x)$ 要是能够变成 $-\sum_{x,y} p(y|x) log p(y|x)$ 形式我们看起来就会舒服多了。

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