终于没白学,小时候困扰我的数学题如今有了新解法

最近继续游走在敲代码的路上,越往深了学,越是发现编程和数学有着密不可分的关系。


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印度有一个古老的传说:在世界中心贝拿勒斯(在印度北部)的圣庙里,一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候,在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片。不论白天黑夜,总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片:一次只移动一片,不管在哪根针上,小片必须在大片上面。僧侣们预言,当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时,世界就将在一声霹雳中消灭,而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。

听了这个故事,你是不是觉得似曾相识,和小时候玩过的一款游戏很像。没错,这个故事就是益智类游戏——汉诺塔的由来。

游戏规则如下:

有三根杆子A,B,C。A杆上有N个(N>1)穿孔圆盘,盘的尺寸由下到上依次变小。要求按下列规则将所有圆盘移至C杆:

  1. 每次只能移动一个圆盘;
  2. 大盘不能叠在小盘上面。

提示:可将圆盘临时置于B杆,也可将从A杆移出的圆盘重新移回A杆,但都必须遵循上述两条规则。

问:如何移?最少要移动多少次?

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记得小时候最早接触这道数学题的时候花了不少心思,当时不懂递归,只会用笨办法,即挨个试。从2个盘,3个盘,4个盘开始推演,算完4个盘的时候,感觉摸到点规律了:2个盘的时候是3次,3个盘的时候是7次,4个盘的时候是15次。结果看上去都是奇数,而且似乎都跟2^n (n是盘子的数量)有关系,于是就大胆猜测答案是2^n-1。然后再套用到5个盘上去验证,果然如此,答案是正确的。

现如今,在学编程时又遇上了同样的问题,这一回不用再用笨办法了,直接上代码:

def move(n, a, b, c):
    if n == 1:
        print('move', a, '-->', c)
    else:
        move(n-1, a, c, b)
        move(1, a, b, c)
        move(n-1, b, a, c)
        
move(3, 'A', 'B', 'C')

move A --> C
move A --> B
move C --> B
move A --> C
move B --> A
move B --> C
move A --> C

计算机在逻辑运算方面确实有过人之处,通过编程,我们也看到了数学之美。


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让我们再回过头去看看那个古老的印度传说,很多人真把它当作是传说在看,并且一笑了之。而如果你从数学的角度去看,就会发现它不是一个传说,因为2的64次方-1真的是个很大的数字,等于18446744073709551616,如果单位是秒的话,约等于5845.54亿年。想想地球才多大岁数,科学家说至今不过45亿年罢了。真要过了5845.54亿年,别说地球,太阳系可能都玩完儿了,梵塔、庙宇和众生当然也早就灰飞烟灭了。

所以,从这个角度看过去,学点数学,学点编程对于我们认识世界还是有很大帮助的,至少可以分清什么是传说,什么是事实。

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