复数的基本概念

复数域

$z=x+iy或者z=x+yi,i^2=-1$

实数x与y分别称为复数z的实部和虚部，记作
$x=Re z,y=Im z$
虚部为零的复数就可以看作实数，虚部不为零的复数称为虚数
$x+iy和x-iy称为互为共轭复数$
复数运算
$z_1\pm z_2=(x_1\pm x_2)+i(y_1\pm y_2)\\ z_1 z_2=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1)\\ \frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=\frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}=\frac{(x_1x_2+y_1y_2) + i(x_2y_1-x_1y_2)}{x^{2}_{2}+y^{2}_{2}},z_2\neq0$

复平面

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复数的模与辐角

$r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}\geqslant0$

$\tan\theta=\frac{y}{x}, 称为复数z的辐角（Argument），记作\theta= Arg z$

我们知道，任一非零复数z有无穷多个辐角，今以arg z表示其中的一个特定值，并称合条件
$-\pi <arg \ z 小于等于 \pi$
的一个为Arg z的主值，或称之为z的主辐角。
$\theta=Arg\ z=arg \ z + 2k\pi,k=0,\pm1,\pm2,\cdots$
当z=0时，辐角无意义。

单位复数

$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$

当r=1时，有
$z=\cos\theta+i\sin\theta$
称为单位复数。
$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta \ (欧拉公式)$

$e^{i\theta_{1}}e^{i\theta_{2}}=e^{i(\theta_1+\theta_2)}\\ \frac{e^{i\theta_{1}}}{e^{i\theta_{2}}}=e^{i(\theta_1-\theta_2)}$

复数的指数形式
$z=re^{i\theta}$
也就是说，任一非零复数z总可以表成
$z=|z|e^{i \ arg\ z}$

复数乘法与旋转

$z_1z_2=r_1e^{i\theta_1}r_2e^{i\theta_2}=r_1r_2e^{i(\theta_1 +\theta_2)}\\ \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}}=\frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1-\theta_2)}$

$\therefore |z_1z_2|=|z_1||z_2|,|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|},z_2 \neq 0$

所以两个复数相乘相当于模相乘，辐角相加,相除就是模相除，辐角相减

image-20210223095915573.png

特别的我们拿i乘以一个复数
$iz=i(x+iy)=-y+ix$

image-20210223100941657.png

复数的乘幂与方根

$z^{n}=(re^{i\theta})^{n}=r^{n}e^{in\theta}=r^{n}(\cos n\theta + i\sin n\theta),z \neq0\\ \therefore |z^{n}|=|z|^{n}\\ Arg\ z^{n}=nArg\ z$
当r=1,就是棣莫弗公式
$(\cos\theta + i\sin \theta)^{n}=\cos n\theta + i\sin n\theta$

$复数w的n次方就是复数z，求出复数w\\ w^{n}=z,z \neq0,n \geqslant2,整数$

$令记其根的总体为\sqrt[n]{z},设z=re^{i\theta},w=\rho e^{i\varphi},则\\ \rho^{n}e^{in\varphi}=re^{i\theta}\\ \therefore \rho^{n}=r,n\varphi=\theta+2k\pi$

$\therefore \rho =\sqrt[n]{r} =\sqrt[n]{|z|} \\ \varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}$

所以z的n次方根为
$w_k=\rho e^{i\varphi}=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}}=e^{i\frac{2k\pi}{n}}\cdot\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta}{n}},k=0,\pm1,\pm2,\cdots$
把上面的式子改为
$w_k=e^{i\frac{2k\pi}{n}}\cdot w_0\\ w_0=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta}{n}}$

$w_k就是在复平面内由w_0依次绕原点旋转 \frac{2\pi}{n},2\cdot\frac{2\pi}{n},3\cdot\frac{2\pi}{n},\cdots$

image-20210223104519956.png

复数乘法与矩阵

$假设复数 p = a+bi，乘上复数q=r\cos \theta +i r\sin\theta\\ pq=ar\cos\theta-br\sin\theta+(ar\sin\theta + br\cos\theta)i=a^{'}+b^{'}i\\ 用矩阵表示\\ \left[ \begin{matrix} a^{'}\\ b^{'} \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\\ \end{matrix} \right]\cdot\left[ \begin{matrix} ar\\ br \end{matrix} \right]$

$这不就是二维空间中点（a,b）绕原点逆时针旋转\theta角吗,模长也扩大了r倍$

https://www.youtube.com/watch?v=lKIBFLQZZUk

最后编辑于：2021.02.23 11:17:05

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