title: 基于特征函数的林德伯格中心极限定理的证明
date: 2020-7-2 19:00:00
category: 高等概率论
基于特征函数的林德伯格-列维中心极限定理的证明
Proof of Lindeberg-levy limit theorem based on characteristic function
0. 林德伯格-列维中心极限定理的介绍
设为独立同分布的随机变量序列，且
。令
，那么当
，随机变量
依分布收敛于服从标准正态分布的随机变量X，即
1. 引理（特征函数的定义及性质）
1.1 特征函数的定义如下式：
1.2 标准正态分布的概率密度函数（p.d.f.）及特征函数(c.f.)如下式:
1.3 独立变量和的特征函数等于每个随机变量特征函数的乘积
2. 基于特征函数的证明过程
令
独立同分布，且
。我们设
的特征函数为
,则利用引理1.3有
的特征函数为
,由高等数学的极限理论可知，当
，有
.
接下来的事情就很简单了，于0点处进行Taylor展开
把特征函数于0点的函数值、一阶导的函数值、二阶导的函数值代入上式得到下式
对上式求n次幂，由于,则有
的极限为
,这恰好为标准正态分布的随机变量X的特征函数（引理1.2）。
根据特征函数的分布理论的分布函数
依分布收敛
.
至此，证明完毕，当然证明过程没有先证明三个引理是十分不严谨的，不过问题不大，哈哈哈哈哈
本文作者:凌雷发布日期：2020.7.2更新日期：2020.7.2
