到了初中，我们在数学上学习的数更加广泛，比如有理数。既然要研究有理数首先要学习它的四则运算。
如果想研究有理数的四则运算，首先我们要将有理数分一个类，也就是正有理数，负有理数，和0。正有理数又包括了正整数和正分数，而负有理数又有负整数和负分数。接下来我就可以开始探索它们的四则运算。
首先我们来看一下有理数的加法。我们可以在探索之前将有理数的加法分成几类，如图：
可以分为这六类，正数乘正数我们以前已经学过，比如3+2，我们可以用数轴来解释，从零开始向右跳三个单位长度，跳到的位置是3，再从三开始向右跳两个单位长度，跳到的位置就是5，所以3+2也就等于5。那么问题来了，如果是负数加正数，该怎么办呢？我们以前是没有学过这一类加法的。但我想我们还可以哉数轴上来跳。比如-3+2，我们可以先找到负三的位置，就是从零开始向左跳三个单位长度，跳到负三，再向右跳两个单位长度，跳到的位置也就是负一。那么正数加负数又该怎么跳呢？如2+（-3）我们以前加的数都是一个正数，但这次加了一个负数，这该怎么跳？我们可以先找到二的位置，然后向左跳三个单位长度，跳到的位置是-1。但是为什么要向左跳，并且越加越小呢？我们以前学过的加法不都是往右跳，越加越大吗？但是我们可以利用反射变化来想一下，原来我们加的都是一个正数，加一个正数自然会越加越大，并且往右跳，但是现在加了一个负数，他就要再反一次了，也就是变成向左跳，而向左跳自然就会越跳越小。那么现在我们也可以得到一些规律，首先就是加一个正数，向右跳，越加越大，加一个负数，就是向左跳，并且越加越小。并且还有一个神奇的规律就是一个数加上一个负数，其实也就等于减去这个负数的相反数，这个也可以用我们刚才的反射变化完美的在数轴上解释。所以以后我们在计算负数加法的时候就不需要在数轴上一格一格的跳，可以直接应用这个规律。而负数加负数，其实也和正数加负数一样，加上一个负数，其实就等于减去它的相反数。0加负数和0加正数可以很轻易的得到了，0+任何数，其实就等于那个数的本身。现在我们就已经将所有有理数的加法分类解决了。今天我们可以总结一下规律就是加上一个负数等于减去他的相反数，同号两数相加，取相同的符号，将两数的绝对值相加。那么现在我们可以看一下什么情况下两数相加的时候结果会大于0，什么时候小于0，什么时候又等于0？如果两数都是正数，大于零数的话，他们的结果肯定是大于0，如果是负数加负数的话，他们结果可能大于0，可能小于0，如果后面的加数大于前面的加数结果就大于0，反之则小于0。正数加负数，如果正数的绝对值小于负数的绝对值，那么它们的结果也就小于零，如果正数的绝对值大于负数的绝对值，那么结果就大于0，但如果正数和负数绝对值相等的时候，结果就会等于0。
那么有理数的减法又该怎样运算呢？我们可以先将有理数的减法分成几类，如图：
我们可以把有理数减法分成这样的六类，正数减正数我们在小学的时候已经学过了，比如3-2，我们可以用数轴来解释。从零开始向右跳三个单位长度跳到三，然后再向左跳两个单位长度跳到的位置就是一。那么负数减正数的时候该怎么算呢，我们也可以用数轴来解释，比如负三减二，从零开始向左跳三个一跳到的位置是负三，再向左跳两个单位长度跳的位置，也就是负五。正数减负数，比如2减-3，我们可以从二开始，向右跳三个单位长度跳的位置，也就是五。但是这和我们以前所学过的也不一样，因为以前我们学过的减法是越减越小，并且是向左跳的，但是现在为什么是向右跳呢？我们也可以利用反射变化来解释，原来减的是一个正数，向左跳，现在减的是一个负数，就是向右跳。我们也可以总结一下，减去一个负数其实就等于加上他的相反数。负数减负数也是一样的可以利用反射变化解释。零减负数也就等于零加上他的相反数，零减一个正数自然也是这个正数的相反数。但是我想另外一种更简洁也更好，理解的方式可以解释有理数的减法，就是把有理数的减法转化成加法。3-2=3+（-2），-3-2=-3+（-2）。2-（-3）=2+3，-3-（-4）=3+4。0-（-3）=0+3，0-3=0+（-3）我们可以把所有有理数的减法都转换成加法，这样就非常得好理解并且也很方便运算了。
那么有理数的乘法该怎样运算，我们同样可以把它分成几类，如图：
正数乘正数我们以前就学过。可以利用几个几，几的几倍或者来得到。比如说，3×2就是三的二倍或二的三倍，或者三个二相加或二个三相加。或者我也可以利用跳数轴的方式来解决。 如果是负数乘正数，比如-3×2其实就是两个负三相加，也就是负六。正数乘负数也是一样的，比如二乘负三，其实也就是两个负三相加。那么负数乘负数就没有办法利用几个几，或者几的几倍来解决了，但是我们可以利用反射变化，比如-3×（-4）我们可以先把它转化成-3×4，也就是-12，但是这个-4也是负数，所以我再把它反射一次就变成了12，这其实也就是我们所说的负负得正，我们也利用反射变化完美的解释了他。当然0乘负数就是0，0乘正数也一样，因为0乘任何数都等于0。所以我们就可以总结一下负数乘法的规律，如果有偶数个负数相乘符号就可以相互抵消，再把这两个数的绝对值相乘。最后，0×任何数都等于零。
那么除法，我们又该怎么办呢？我们同样可以分一下类，如图：
正数除正数，我们以前是学过的，可以利用包含或者平均分来解决。比如10除5可以理解为把10平均分成五份每份是多少，或者十里面包含了几个五。我想我们也可以将所有的除法直接转化成乘法因为，以前我们学分数的时候总结出来了一个规律，就是除一个数就等于乘他的倒数，比如÷5我们就可以把它转化成五分之一。这样的话，我们遇到任意一个有理数除法的问题都可以把它转化成乘法，这样我们就可以直接轻松的解决，并且很好理解了。
到现在我们就将有理数的四则运算全部都解决了，在我的认知中，又多出了一个数系。就是有理数。
