第19课行列式公式和代数余子式

行列式是线性代数中非常有趣的一个小课题

行列式的求解公式

代数余子式

行列式的求解公式

$\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix} = 1 \\ \underrightarrow{换行} \begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix} = -1$

$\begin{eqnarray} \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a&0\\c&d\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}0&b\\c&d\end{vmatrix} = \underbrace{\begin{vmatrix}a&0\\c&0\end{vmatrix}}_{全零列} + \begin{vmatrix}a&0\\0&d\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}0&b\\c&0\end{vmatrix} + \underbrace{\begin{vmatrix}0&b\\0&d\end{vmatrix}}_{全零列} = \underbrace{\begin{vmatrix}a&0\\0&d\end{vmatrix}}_{对角阵} + \underbrace{\begin{vmatrix}0&b\\c&0\end{vmatrix}}_{对角阵} \tag{1} \\ \begin{vmatrix}a&0\\0&d\end{vmatrix}= a\begin{vmatrix}1&0\\0&d\end{vmatrix} = ad\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix} = ad \tag{2} \\ \begin{vmatrix}0&b\\c&0\end{vmatrix}= b\begin{vmatrix}0&1\\c&0\end{vmatrix} = bc\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix} = -bc\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix} = -bc \tag{3} \\ \underbrace{\begin{vmatrix}a&0\\0&d\end{vmatrix}}_{对角阵} + \underbrace{\begin{vmatrix}0&b\\c&0\end{vmatrix}}_{对角阵} = ad-bc \tag{4} \end{eqnarray}$

式子 $(1)$ 用到的行列式性质：

第3条b得：将原行列式拆分成2个
第6条得：全零列行列式为0

式子 $(2),(3)$ 用到的行列式性质：

第1条
第2条
第3条a

行列式公式：
$detA=\pm a_{1\alpha}a_{2\beta}a_{3\gamma}\dots a_{n\omega} \\ detA=a_{i1}c_{i1}+a_{i2}c_{i2} +\dots +a_{in}c_{in}$

代数余子式

$a_{ij}= c_{ij} \underbrace{\pm \overbrace{det\begin{pmatrix}n-1&matrix\\matrix&n-1\end{pmatrix}}^{余子式}}_{代数余子式}$
$i+j$ 为偶取正； $i+j$ 奇取负

同符号一起为代数余子式，去掉符号的部分为余子式
$detA=\\ a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+\dots+a_{1n}C_{1n}+\\ a_{21}C_{21}+a_{22}C_{22}+\dots+a_{2n}C_{2n}+\\ +\dots+a_{nn}C_{nn}$

例：
$A_4=\begin{bmatrix}1&1&0&0\\1&1&1&0\\0&1&1&1\\0&0&1&1\end{bmatrix}\\ detA_4=1\cdot|A_{3}|-1\cdot|A_2|\\ |A_n|=|A_{n-1}|-|A_{n-2}|\\ |A_1|=1;\\ |A_2|=0;\\ |A_3|=-1;\\ |A_4|=-1;\\ |A_5|=0;\\ |A_6|=1;\\ |A_7|=1$
此行列式的值以6为周期变化，奇妙的对角线行列式

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