BP网络（Back Propagation），是1986年由Rumelhart和McCelland为首的科学家小组提出，是一种按误差逆传播算法训练的多层前馈网络，是目前应用最广泛的神经网络模型之一。BP网络能学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，而无需事前揭示描述这种映射关系的数学方程。

BP (Back Propagation)神经网络，即误差反向传播算法的学习过程，由信息的正向传播和误差的反向传播两个过程组成。输入层各神经元负责接收来自外界的输入信息，并传递给中间层各神经元；中间层是内部信息处理层，负责信息变换，根据信息变化能力的需求，中间层可以设计为单隐层或者多隐层结构；最后一个隐层传递到输出层各神经元的信息，经进一步处理后，完成一次学习的正向传播处理过程，由输出层向外界输出信息处理结果。当实际输出与期望输出不符时，进入误差的反向传播阶段。误差通过输出层，按误差梯度下降的方式修正各层权值，向隐层、输入层逐层反传。周而复始的信息正向传播和误差反向传播过程，是各层权值不断调整的过程，也是神经网络学习训练的过程，此过程一直进行到网络输出的误差减少到可以接受的程度，或者预先设定的学习次数为止。

简单的来说，
BP的传播对象就是“误差”，传播目的就是得到所有层的估计误差。

它的学习规则是：使用梯度下降法，通过反向传播（就是一层一层往前传）不断调整网络的权值和阈值，最后使全局误差系数最小。

它的学习本质就是：对各连接权值的动态调整。

一、正向传播和反向传播

图一

上图描绘了神经元 j 被它左边的一层神经元产生的一组函数信号所馈给。m是作用于神经元 j 的所有输入不包括偏置的个数。突触权值 w_j0(n) 等于神经元 j 的偏置 b_j。

1、正向传播

正向传播就是让信息从输入层进入网络，依次经过每一层的计算，得到最终输出层结果的过程。

在神经元 j 的激活函数输入处产生的诱导局部域v_j(n)（即神经元j 的输入）是：

2、反向传播

反向传播的信息是误差，也就是 输出层（output ）的结果 与 输入信息 x 对应的真实结果 之间的差距。

举一个通俗的例子，猜数字：

猜数字

随机设定一个数值 X，让你来猜，我会告诉你猜的数字是高了还是低了。你每次猜的数字相当于一次信息正向传播给我的结果，而我给你的提示就是反向传播的信息，往复多次，你就可以猜到这个随机设定的数值 X 。 这就是典型的反向传播，即根据输出的结果来反向的调整模型，只是在实际应用中的Bp网络更为复杂和数学，但是思想很类似。

据图一，y_j(n)与d_j(n)分别是神经元j的实际输出和期望输出。

图二

在这里下标j表示隐层神经元，下标k表示输出层神经元。

由神经元 i 连接到神经元 j 的突触权值的修正值Δw_ji(n)按照delta法则定义如下：

二、标准BP神经网络设计原则

（2）学习率：0<η<1
（3）停止准则：网络的均方误差足够小或者训练足够的次数等
（4）初始权值：以均值等于0的均匀分布随机挑选突触权值
（5）隐层结构：理论证明一个隐层就能映射所有连续函数 （隐藏层层数、隐藏层神经元数量如何确定？）；

BP神经网络的隐藏层节点数对BP神经网络预测精度有较大的影响：节点数太少，网络不能很好地学习，需要增加训练次数，训练精度也受影响；节点数太多，训练时间增加，网络容易过拟合。最佳隐藏层节点数选择可以参考如下公式：

式中，n为输入层节点数；l为隐藏层节点数；m为输出层节点数；a为0~10之间的常数。在实际问题中，隐藏层节点数的选择首先是参考公式来确定大致的范围，然后用试凑法确定最佳的节点数。对于某些问题来说，隐藏层节点数对输出结果影响较小。

三、标准BP算法训练过程及流程图

1、训练过程

（1）初始化网络的突触权值和阈值矩阵；
（2）训练样本的呈现；
（3）前向传播计算；
（4）误差反向传播计算并更新权值；
（5）迭代，用新的样本进行步骤3和4，直至满足停止准则。
有很多的方法可以判断算法是否已经收敛，常见的有指定迭代的次数，判断相邻的两次误差之间的差别是否小于指定的值等等。

2、流程图

bp神经网络

四、标准BP算法分析

由于标准 BP 算法采用的是梯度下降法，BP 算法的 E-w 曲线图如下：

E-w曲线图

五、实际应用

bp神经网络解决iris分类问题
代码和数据集:https://gitee.com/rao-wensheng/practise/tree/master/bp

参考资料1
参考资料2
参考资料3