高等代数理论基础27：矩阵的运算

矩阵的运算

加法

定义：给定两个矩阵 $A=(a_{ij})_{sn}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{s1}&a_{s2}&\cdots&a_{sn}\end{pmatrix}$

$B=(b_{ij})_{sn}=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\ b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ b_{s1}&b_{s2}&\cdots&b_{sn}\end{pmatrix}$ ,

$C=(c_{ij})_{sn}=(a_{ij}+b_{ij})_{sn}$

$=\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots&a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots&a_{2n}+b_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{s1}+b_{s1}&a_{s2}+b_{s2}&\cdots&a_{sn}+b_{sn}\end{pmatrix}$

称为A与B的和,记作 $C=A+B$

注：

1.矩阵的加法即矩阵对应元素相加,相加的矩阵必须为同型矩阵

2.同型矩阵：有相同的行数和列数的矩阵

3. $r(A+B)\le r(A)+r(B)$

运算规律：

1.结合律： $A+(B+C)=(A+B)+C$

2.交换律： $A+B=B+A$

3.零矩阵：元素全为零的矩阵,记作 $O_{sn}$ ,简记作 $O$

$A+O=A$

4.负矩阵： $\begin{pmatrix}-a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n}\\ -a_{21}&-a_{22}&\cdots&-a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ -a_{s1}&-a_{s2}&\cdots&-a_{sn}\end{pmatrix}$ 称为矩阵A的负矩阵,记作 $-A$

$A+(-A)=O$

5.矩阵减法： $A-B=A+(-B)$

乘法

定义：设 $A=(a_{ij})_{sn}$ , $B=(b_{ij})_{nm}$ ,则 $C=(c_{ij})_{sm}$ ,其中 $c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}b_{nj}=\sum\limits_{k=1}^na_{ik}b_{kj}$ 称为A与B的乘积,记作 $C=AB$

注：

1.矩阵A与B的乘积C的第i行第j列元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积的和

2.作乘积要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等

例：若 $A=(a_{ij})_{sn}$ 为一线性方程组的系数矩阵, $X=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_s\end{pmatrix}$ 分别是未知量和常数项所成的 $n\times 1$ 和 $s\times 1$ 矩阵,则线性方程组可写成矩阵形式 $AX=B$

运算规律：

1.结合律：设 $A=(a_{ij})_{sn}$ , $B=(b_{ij})_{nm}$ , $C=(c_{kl})_{mr}$ ,则 $(AB)C=A(BC)$

证明：

$令V=AB=(v_{ik})_{sm},W=BC=(w_{jl})_{nr}$

$其中,v_{ik}=\sum\limits_{j=1}^na_{ij}b_{jk}(i=1,2,\cdots,s;k=1,2,\cdots,m)$

$w_{jl}=\sum\limits_{k=1}^mb_{jk}c_{kl}(j=1,2,\cdots,n;l=1,2,\cdots,r)$

$(AB)C=VC$

$VC第i行第l列元素为$

$\sum\limits_{k=1}^mv_{ik}c_{kl}=\sum\limits_{k=1}^m(\sum\limits_{j=1}^na_{ij}b_{jk})c_{kl}$

$=\sum\limits_{k=1}^m\sum\limits_{j=1}^na_{ij}b_{jk}c_{kl}$

$A(BC)=AW$

$AW第i行第l列元素为$

$\sum\limits_{j=1}^na_{ij}w_{jl}=\sum\limits_{j=1}^na_{ij}(\sum\limits_{k=1}^mb_{jk}c_{kl})$

$=\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{k=1}^ma_{ij}b_{jk}c_{kl}$

$=\sum\limits_{k=1}^m\sum\limits_{j=1}^na_{ij}b_{jk}c_{kl}\qquad\mathcal{Q.E.D}$

2.交换律不满足：一般, $AB\neq BA$

3.消去律不满足：一般, $AB=AC\nRightarrow B=C$

例：

$A=\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}$

$AB=\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$

$BA=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}2&2\\-2&-2\end{pmatrix}$

乘法与加法运算规律：

$A(B+C)=AB+AC$

$(B+C)A=BA+CA$

单位矩阵

定义：主对角线上的元素全是1,其余元素全是0的 $n\times n$ 矩阵 $\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&1\end{pmatrix}$ 称为n级单位矩阵,记作 $E_n$ ,简记作 $E$

注： $A_{sn}E_n=A_{sn}$ , $E_sA_{sn}=A_{sn}$

方幂

定义：给定 $n\times n$ 矩阵A, $k,l\in Z_+$ , $\begin{cases}A^1=A\\A^{k+1}=A^{k}A\end{cases}$

注：

1. $A^k$ 就是k个A连乘

2.方幂只能对方阵定义

$A^kA^l=A^{k+l}$

$(A^k)^l=A^{kl}$

一般, $(AB)^k\neq A^kB^k$

数量乘法

定义：矩阵 $\begin{pmatrix}ka_{11}&ka_{12}&\cdots&k_{1n}\\ ka_{21}&ka_{22}&\cdots&ka_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ ka_{s1}&ka_{s2}&\cdots&ka_{sn}\end{pmatrix}$ 称为矩阵 $A=(a_{ij})_{sn}$ 与数k的数量矩阵,记作 $kA$

注：用数k乘矩阵即把矩阵的每个元素都乘k

运算规律：

1. $(k+l)A=kA+lA$

2. $k(A+B)=kA+kB$

3. $k(lA)=(kl)A$

4. $1A=A$

5. $k(AB)=(kA)B=A(kB)$

证明5：

$设A=(a_{ij})_{sn},B=(b_{ij})_{nm}$

$在k(AB),(kA)B,A(kB)中,(i,t)的元素依次为$

$k\sum\limits_{j=1}^na_{ij}b_{jt},\sum\limits_{j=1}^n(ka_{ij})b_{jt}=k\sum\limits_{j=1}^na_{ij}b_{jt},\sum\limits_{j=1}^na_{ij}(kb_{jt})=k\sum\limits_{j=1}^na_{ij}b_{jt}$

$显然三个式子相等\qquad\mathcal{Q.E.D}$

数量矩阵

定义：矩阵 $kE=\begin{pmatrix}k&0&\cdots&0\\ 0&k&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&k\end{pmatrix}$ 称为数量矩阵

注：若A为一个 $n\times n$ 矩阵,则 $kA=(kE)A=A(kE)$

数量矩阵与所有的 $n\times n$ 矩阵作乘法是可交换的,若一个n级矩阵与所有n级矩阵作乘法都是可交换的,则这个矩阵一定是数量矩阵

规律：

$kE+lE=(k+l)E$

$(kE)(lE)=(kl)E$

转置

定义：给定 $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{s1}&a_{s2}&\cdots&a_{sn}\end{pmatrix}$ , $A'=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{s1}\\ a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{s2}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{sn}\end{pmatrix}$ 称为A的转置

注： $s\times n$ 矩阵的转置是 $n\times s$ 矩阵

规律：

1. $(A')'=A$

2. $(A+B)'=A'+B'$

3. $(AB)'=B'A'$

4. $(kA)'=kA'$

证明3：

$设A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{s1}&a_{s2}&\cdots&a_{sn}\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1m}\\ b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2m}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ b_{n1}&b_{n2}&\cdots&b_{nm}\end{pmatrix}$

$AB中(i,j)元素为\sum\limits_{k=1}^na_{ik}b_{kj}$

$\therefore (AB)'中(i,j)元素为\sum\limits_{k=1}^na_{jk}b_{ki}$

$B'中(i,k)元素为b_{ki},A'中(kj)元素为a_{jk}$

$\therefore B'A'中(i,j)元素为\sum\limits_{k=1}^nb_{ki}a_{jk}=\sum\limits_{k=1}^na_{jk}b_{ki}$

$即(AB)'=B'A'\qquad\mathcal{Q.E.D}$

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