刚体运动学（1）：基本定义和独立坐标

$\mathrm{\mathbf{I.}}$ 定义

刚体（rigid body），是指在完整约束作用下，内部任意成对质点在运动过程中间距始终保持常数的质点组。

$\bullet$ 刚体是一种理想模型。

$\bullet$ 刚体的旋转运动是刚体运动学的核心内容，它为关于矢量的时间变化率在惯性参考系与旋转参考系之间关系的研究做了铺垫。

$\mathrm{\mathbf{I\!I.}}$ 刚体的自由度

在三维空间中，一个由 $N$ 质点表示的刚体最多可以拥有 $3N$ 个自由度。在很多时候，由于约束方程的存在，刚体实际的自由度是小于 $3N$ 的。

正如定义里提到，刚体内部的约束通常都是完整的，它们具有形式：

$r_{ij} = c_{ij}\quad (i \neq j)$

其中两个下指标 $i$ 和 $j$ 分别表示第 $i$ 个质点和第 $j$ 个质点。 $c_{ij}$ 则表示一个固定常数，对于不同的指标（不同的质点对），该常数可能改变，但并不与刚体的定义冲突，因为我们所定义的“常数”通常是指那些不会随时间变化的量。

由于 $r_{ij} = r_{ji} = c_{ij}$ ，不难得出，形如上述的方程该一共有 $\frac{1} {2}N(N-1)$ 个。

按照惯性思维，若系统存在约束， $3N$ 坐标间则存在依赖关系，那么独立坐标的个数该是 $3N$ 减去约束方程的个数，所以对于刚体，该有

$3N - \frac{1} {2}N(N-1)$

这个看似正确的推论其实是错误的。因为当 $N>\!> 1$ 时，它会变成一个负数，很明显不满足。

原因在于，这 $\frac{1} {2}N(N-1)$ 个约束条件并非全是独立的，它们中的很多其实都是多余的，所以找出一个能够将多余约束条件消去的关系就成了找出刚体独立坐标个数的关键。

刚体内部不共线的三点与第四点的关系

如图，假设非共线的三质点 $1,2,3$ 的间距 $r_{12}$ ， $r_{13}$ 和 $r_{23}$ 均已知，接下来只要再知道第四点 $i$ 分别与前三点的间距，四点所构成的三棱锥每条边都将是已知量，那么之后便可根据基本几何原理，唯一地确定点 $i$ 的位置。由于 $i$ 是任意的，所以只要知道刚体内非共线三点的间距，便能够唯一确定其它任意点的位置。

这样一来， $N$ 个质点其实只需要 $3$ 个，所以刚体的实际自由度该不得超过 $3 \cdot 3$ ，也就是 $9$ 。

而这三个非共线质点的位置是相互依赖的，有约束方程

$r_{12} = c_{12};\quad r_{23} = c_{23};\quad r_{13} = c_{13}$

于是这三个方程又将刚体的自由度进一步地减少为了 $6$

所以确定刚体内一个质点的位置所需要用到的坐标数该是 $6$ 。

无论一个刚体由多少个质点构成，只需要 $6$ 个坐标便可以完全确定其位形。

$\bullet$ 同样的结论也可通过单纯地考虑“非共线三点即可确定刚体内其它所有质点位置”得到：

在三维空间想要确定任意一个点，需要 $3$ 个坐标没有异议。但如果这时加入第二个点，由于两点间存在刚体的约束条件，它们的间距必须是个定值，所以点二只有可能在一个以点一为中心的球面上运动，进而需要 $2$ 个坐标。最后，一旦两个点都已确定，第三个点就只能绕着一条贯穿之前两点的轴转动，故只需要 $1$ 个坐标。所以总的坐标个数： $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ 。

$\bullet$ 当系统存在除刚体的刚性约束以外的其它约束条件时，刚体自由度还将会被进一步减少。

$\mathrm{\mathbf{I\!I\!I.}}$ 独立坐标的分配

如图，刚体的位置可由一个建立在其内部，相对外界参考系 $S$ 的 $S^{\prime}$ 参考系完全确定。

有时候，我们也将位于刚体内部的 $S^{\prime}$ 参考系称为局部参考系，将位于外部的 $S$ 参考系称为全局参考系。通常，全局参考系是不会动的。

所以确定 $S^{\prime}$ 与 $S$ 的相对位置，需要用到 $3$ 个坐标；又因为刚体自身的几何位置，剩下的 $3$ 个坐标则需用来确定参考系 $S^{\prime}$ 与 $S$ 之间的相对方向。

$\mathrm{\mathbf{I\!V.}}$ 相对方向的确定

$\bullet$ 参考系 $S^{\prime}$ 和 $S$ 的相对方向最有效的一种表示法是使用这两组不同坐标系的坐标轴之间的方向余弦(direction cosine)。

$\bullet$ 在解析几何中，一个矢量的三个方向余弦是该矢量与三条坐标轴之间角度的余弦。两个矢量的方向余弦则是这两个矢量夹角的余弦。

将 $S$ 平移使得两个坐标系原点重合。根据方向余弦的定义，由于基矢量均是单位长度

$\cos \theta_{11} = \cos \langle\mathbf{i}^{\prime}, \mathbf{i}\rangle = \mathbf{i}^{\prime} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{i} = \mathbf{i} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{i}^{\prime}$

$\cos \theta_{12} = \cos \langle\mathbf{i}^{\prime}, \mathbf{j}\rangle = \mathbf{i}^{\prime} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{j} = \mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{i}^{\prime}$

$\cos \theta_{21} = \cos \langle\mathbf{j}^{\prime}, \mathbf{i}\rangle = \mathbf{j}^{\prime} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{i} = \mathbf{i} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{j}^{\prime}$

$\cos \theta_{22} = \cos \langle\mathbf{j}^{\prime}, \mathbf{j}\rangle = \mathbf{j}^{\prime} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{j} = \mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{j}^{\prime}$

$...$

其中，夹角 $\theta_{ij}$ 的第一个下指标对应 $S^{\prime}$ 参考系的基矢量，第二个下指标对应了 $S$ 参考系的基矢量。

$\bullet$ 方向余弦可被用来表示这两组基矢量之间的关系。

设基 $E = \left\{ \mathbf{i}, \mathbf{j},\mathbf{k}\right\}$ 张成的空间为 $V$ ，基 $E^{\prime} = \left\{ \mathbf{i}^{\prime}, \mathbf{j}^{\prime},\mathbf{k}^{\prime} \right\}$ 张成的空间为 $W$ 。根据投影公式，有

$\mathbf{i}^{\prime} = \mathrm{proj}_{E}\mathbf{i}^{\prime} = (\mathbf{i}^{\prime}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{i})\mathbf{i} + (\mathbf{i}^{\prime}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{j})\mathbf{j} + (\mathbf{i}^{\prime}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{k})\mathbf{k} = \cos\theta_{11} \mathbf{i} + \cos\theta_{12}\mathbf{j} + \cos\theta_{13}\mathbf{k}$

$\mathbf{j}^{\prime} = \mathrm{proj}_{E}\mathbf{j}^{\prime} = (\mathbf{j}^{\prime}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{i})\mathbf{i} + (\mathbf{j}^{\prime}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{j})\mathbf{j} + (\mathbf{j}^{\prime}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{k})\mathbf{k} = \cos\theta_{21} \mathbf{i} + \cos\theta_{22}\mathbf{j} + \cos\theta_{23}\mathbf{k}$

$\mathbf{k}^{\prime} = \mathrm{proj}_{E}\mathbf{k}^{\prime} = (\mathbf{k}^{\prime}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{i})\mathbf{i} + (\mathbf{k}^{\prime}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{j})\mathbf{j} + (\mathbf{k}^{\prime}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{k})\mathbf{k} = \cos\theta_{31} \mathbf{i} + \cos\theta_{32}\mathbf{j} + \cos\theta_{33}\mathbf{k}$

同理，可以得到一组相反关系

$\mathbf{i} = \mathrm{proj}_{E^{\prime}}\mathbf{i} = (\mathbf{i} \boldsymbol {\cdot} \mathbf{i}^{\prime})\mathbf{i}^{\prime} + (\mathbf{i} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{j}^{\prime})\mathbf{j}^{\prime} + (\mathbf{i}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{k}^{\prime})\mathbf{k}^{\prime} = \cos\theta_{11} \mathbf{i}^{\prime} + \cos\theta_{21}\mathbf{j}^{\prime} + \cos\theta_{31}\mathbf{k}^{\prime}$

$\mathbf{j} = \mathrm{proj}_{E^{\prime}}\mathbf{j} = (\mathbf{j} \boldsymbol {\cdot} \mathbf{i}^{\prime})\mathbf{i}^{\prime} + (\mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{j}^{\prime})\mathbf{j}^{\prime} + (\mathbf{j}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{k}^{\prime})\mathbf{k}^{\prime} = \cos\theta_{12} \mathbf{i}^{\prime} + \cos\theta_{22}\mathbf{j}^{\prime} + \cos\theta_{32}\mathbf{k}^{\prime}$

$\mathbf{k} = \mathrm{proj}_{E^{\prime}}\mathbf{k} = (\mathbf{k} \boldsymbol {\cdot} \mathbf{i}^{\prime})\mathbf{i}^{\prime} + (\mathbf{k} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{j}^{\prime})\mathbf{j}^{\prime} + (\mathbf{k}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{k}^{\prime})\mathbf{k}^{\prime} = \cos\theta_{13} \mathbf{i}^{\prime} + \cos\theta_{23}\mathbf{j}^{\prime} + \cos\theta_{33}\mathbf{k}^{\prime}$

$\bullet$ 方向余弦同样可被直接用来表示某点在这两组参考系的坐标之间的关系。

对于任意矢量 $\mathbf{G}$ ，有

$\mathbf{G} = G_x \mathbf{i} + G_y \mathbf{j} + G_z \mathbf{k} = G_{x^{\prime}}\mathbf{i}^{\prime} + G_{y^{\prime}}\mathbf{j}^{\prime} + G_{z^{\prime}}\mathbf{k}^{\prime}$

于是

$G_{x^{\prime}} = \mathbf{G} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{i}^{\prime} = (G_x \mathbf{i} + G_y \mathbf{j} + G_z \mathbf{k}) \boldsymbol{\cdot} \mathbf{i}^{\prime} = \cos\theta_{11}G_x + \cos\theta_{12}G_y + \cos\theta_{13}G_z$

$...$

或者相反关系

$G_x = \mathbf{G} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{i} = (G_{x^{\prime}}\mathbf{i}^{\prime} + G_{y^{\prime}}\mathbf{j}^{\prime} + G_{z^{\prime}}\mathbf{k}^{\prime}) \boldsymbol{\cdot} \mathbf{i} = \cos\theta_{11}G_{x^{\prime}} + \cos\theta_{21}G_{y^{\prime}} + \cos\theta_{31}G_{z^{\prime}}$

$...$

可见，如果固定刚体内部的 $S^{\prime}$ 参考系，在刚体的运动中，这 $9$ 个方向余弦将会是刚体方向随时间变化的函数。每一个方向余弦都描述了刚体在空间中某一时刻相对于另一个原点重合的参考系的瞬时方向。由于我们仅需要 $3$ 个方向坐标便可完全确定刚体的方向，所以这 $9$ 个方向余弦并非全部都是独立的。

$\bullet$ 为消去多余的方向余弦，需找出方向余弦之间的关系。

由于两组基矢量均为标准正交，有

$\mathbf{i} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{j} = \mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{k} = \mathbf{k} \boldsymbol{\cdot}\mathbf{i} = 0$

$\mathbf{i} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{i} = \mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{j} = \mathbf{k} \boldsymbol{\cdot}\mathbf{k} = 1$

另一组基矢量间也具有相同的关系

$\mathbf{i}^{\prime} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{j}^{\prime} = \mathbf{j}^{\prime} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{k}^{\prime} = \mathbf{k}^{\prime} \boldsymbol{\cdot}\mathbf{i}^{\prime} = 0$

$\mathbf{i}^{\prime} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{i}^{\prime} = \mathbf{j}^{\prime} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{j}^{\prime} = \mathbf{k}^{\prime} \boldsymbol{\cdot}\mathbf{k}^{\prime} = 1$

用 $\mathbf{e}_l$ 表示 $S$ 参考系的基矢量（ $\mathbf{e}_1 = \mathbf{i}$ ， $\mathbf{e}_2 = \mathbf{j}$ ， $\mathbf{e}_3 = \mathbf{k}$ ），用 $\mathbf{e}^{\prime}_l$ 表示 $S^{\prime}$ 参考系的基矢量（ $\mathbf{e}^{\prime}_1 = \mathbf{i}^{\prime}$ ， $\mathbf{e}^{\prime}_2 = \mathbf{j}^{\prime}$ ， $\mathbf{e}^{\prime}_3 = \mathbf{k}^{\prime}$ ），可将之前得到的两组基矢量之间的关系写成更为紧凑的形式

$\mathbf{i} = \cos\theta_{11}\mathbf{i}^{\prime} + \cos\theta_{21}\mathbf{j}^{\prime} + \cos\theta_{31}\mathbf{k}^{\prime} = \sum_{l=1}^3 \cos\theta_{l1}\mathbf{e}^{\prime}_l$

同理

$\mathbf{j} = \sum_{l=1}^3 \cos\theta_{l2}\mathbf{e}^{\prime}_l$

$\mathbf{k} = \sum_{l=1}^3 \cos\theta_{l3}\mathbf{e}^{\prime}_l$

将上面三个方程合并

$\mathbf{e}_m = \sum_{l=1}^3 \cos\theta_{lm}\mathbf{e}_l^{\prime} \quad (m = 1,2,3)$

求基矢量长度的平方

$\mathbf{e}_m \boldsymbol{\cdot} \mathbf{e}_{m^{\prime}} = \sum_{n=1}^3\sum_{l=1}^3\cos\theta_{nm^{\prime}}\cos\theta_{lm} \delta_{nl} = \sum_{l=1}^3 \cos\theta_{lm^{\prime}}\cos\theta_{lm}$

又根据基矢量之间标准正交的特性，有

$\mathbf{e}_m \boldsymbol{\cdot} \mathbf{e}_{m^{\prime}} = \delta_{mm^{\prime}}$

结果是一个二阶张量，或者 $m \times m^{\prime}$ 的单位矩阵。它与克罗内克符号（Kronecker delta）有相似特点，即

$\delta_{mm^{\prime}} = \begin{cases}1 \quad m = m^{\prime};\\ 0 \quad m \neq m^{\prime} \end{cases}$

可以得到关系

$\delta_{mm^{\prime}} = \sum_{l=1}^3\cos\theta_{lm^{\prime}}\cos\theta_{lm}$

于是，

（1）当 $m = m^{\prime}$ 时， $\delta_{mm^{\prime}} = 1$ ，

$\sum_{l=1}^3 \cos^2\theta_{lm} = 1$

$m$ 为活指标，该等式表示了 $3$ 个方程。

（2）当 $m \neq m^{\prime}$ 时， $\delta_{mm^{\prime}} = 0$ ，

$\sum_{l=1}^3 \cos\theta_{lm^{\prime}}\cos\theta_{lm} = 0$

$m, m^{\prime}$ 均为活指标，该等式表示了 $\frac{3 \cdot 2} {2} = 3$ 个方程。

所以等式总共表示了 $3 + 3 = 6$ 个方程，这六个方程组成了 $6$ 个约束条件，可以被用来消去多余方向余弦。

所以，实际独立的方向余弦个数为 $9 - 6 = 3$ ，即，我们只需要 $3$ 个独立方向坐标，即可完全确定刚体的方向。

$\bullet$ 需要注意的是，在微分几何中， $\delta_{mm^{\prime}}$ 本身严格意义上来讲并非克罗内克符号 $\delta _j^i$ ，但它与克罗内克符号的关系可通过调整上下指标来得到

$\delta_m^n g_{m^{\prime}n} = \delta_{mm^{\prime}}$

其中 $g_{m^{\prime}n}$ 是协变度规张量。

可见，只有对于标准正交基（比如笛卡尔坐标系），二者才相等。这也是许多教材对这两者不做区分的原因。