- 概述
- 透视投影
- 正交投影
概述
计算机显示器是一个2D平面。OpenGL渲染的3D场景必须以2D图像方式投影到计算机屏幕上。GL_PROJECTION矩阵用于该投影变换。首先，它将所有定点数据从观察坐标转换到裁减坐标。接着，这些裁减坐标通过除以w分量的方式转换到归一化设备坐标（NDC）。
因此，我们需要记住一点：裁减变换（视锥剔除）与NDC变换都保存在GL_PROJECTION矩阵中。下述章节描述如何从6个限定参数（左、右、下、上、近平面、远平面）构建投影矩阵。
注意，视锥剔除（裁减）在裁减坐标上执行，并且在除以wc之前。裁减坐标xc、yc、zc会与wc做比较检测。如果任一坐标小于-wc或大于wc，则该顶点将会抛弃。
接着，OpenGL重新构建那些裁减掉的多边形的边。
透视投影
在透视投影中，截棱锥体（观察坐标）中的3D点会被映射到立方体（NDC）中。x坐标的范围从[l,f]到[-1,1]，y坐标的范围从[b,t]到[-1,1]，z坐标的范围从[n,f]到[-1,1]。
注意，观察坐标为右手坐标系，NDC使用左手坐标系。也就是说，位于原点的照相机在观察坐标中看向-Z轴，而在NDC中看向+Z轴。因为glFrustum()只接收正的近平面与远平面距离值，我们需要在构建GL_PROJECTION矩阵时对他们取反。
OpenGL中，观察空间中的3D点被投影到近平面（投影平面）上。下图展示观察空间中的点(xe,ye,ze)如何投影到近平面上的点(xp,yp,zp)。
从视锥体的俯视图看出，使用相似三角形比率计算方式将观察空间的x坐标xe被映射到xp。
从视锥体的侧视图看出，yp也使用相同的方式计算出：
注意，xp与yp二者都依赖于ze，它们与-ze成反比例。也就是说，它们都被-ze除。这是构建GL_PROJECTION矩阵的第一点提示。在观察坐标通过与GL_PROJECTION矩阵相乘变换之后，裁减坐标依旧是其次坐标。它最终通过除以裁减坐标的w分量才变成归一化设备坐标（NDC）。（更详细描述参考OpenGL变换。）
因此，我们可以将裁减坐标的w分量设置为-ze。这样，GL_PROJECTION矩阵的第四行变为(0,0,-1,0)。
接着，我们通过线性关系将xp与yp映射到NDC中的xn与yn：[l,r]=>[-1,1]，[b,t]=>[-1,1]。
然后,我们用上面的方程式替换xp与yp。
注意，我们为透视除法（xc/wc, yc/wc）将每个等式相被-ze整除。前面我们已经将wc设置为-ze，大括号中的项为裁减坐标中xc与yc。
从这个等式，我们可以发现GL_PROJECTION矩阵的第一与第二行。
现在，我们仅仅解决GL_PROJECTION矩阵的3行。由于观察空间中的ze总是投影到近平面上的-n点，zn的计算方法与其他坐标的计算方法有稍许不同。不过我们需要唯一的z值来进行裁剪与深度测试。此外，我们也会进行逆投影（逆变换）操作。因为，我们知道z并不依赖于x与y的值，我们借助w分量找寻zn与ze之间的关系。因此，我们可以像这样指定GL_PROJECTION矩阵的第三行：
在观察空间，we等于1。因此，等式变为：
为了计算系数A与B，我们使用(ze,zn)关系式(-n,-1)与(-f,1)，且将它们带入到上述等式。
为了求解A与B，重写等式(1)：
将等式(1')带入等式(2)，然后求解A：
将A带入等式(1)中，求出B：
我们解出A与B。因此ze与zn的关系变为：
最后，我们解出GL_PROJECTION矩阵的所有元素。完整的投影矩阵为：
该投影矩阵为通用截面体。如果视锥体为对称的，即r=-l且t=-b，则矩阵可简化为：
在开始后面讲述之前，请回顾ze与zn之间的关系：等式(3)。你会注意到它是一个有理数方程且ze与zn并非线性关系。也就是说近平面具有非常高的精度，而远平面的精度很低。如果[-n,-f]的范围变得很大，会引起深度精度问题（深度冲突）：远平面附近ze的小变化不会影响zn值。为了最小化深度缓存精度问题，n与f的距离应该尽可能小。
正交投影
正交椎体与归一化设备坐标（NDC）
构造正交投影的GL_PROJECTION矩阵比透视投影模式简单很多。
观察空间的xe、ye与ze分量都线性映射到NDC。我们只需将长方体缩放为正方体，然后移动它到原点。让我们使用线性关系推导出GL_PROJECTION中的所有元素。
因为对于正交投影并不需要w分量，GL_PROJECTION矩阵的第4行依旧为(0,0,0,1)。因此，正交投影完整的GL_PROJECTION矩阵为：
如果视锥体是对称的（r=-l且t=-b），它可以进一步简化。
英文原文：http://www.songho.ca/opengl/gl_projectionmatrix.html
