乔治.波利亚的《数学的发现--对解题的理解、研究和讲授》

P295：数学系给我们的是啃不动的硬牛排，而教育学院给的则是一碗没有肉的白水汤。

P304：我们无法预知谁以后会干什么，我们也无从知道哪些学生归属于哪一类。因此据此情况，我觉得数学班应当办得符合两个原则。 第一，每一个学生应当能够从他的学习中得到某些收获而不管他以后的职业是什么。 第二，那些在数学上表现出一些资质的学生应当受到鼓励和吸引，而不要由于拙劣的教育而使他们嫌弃了数学。

P312-313：

用那些缺乏动力的，得不到什么收获的乏味的证明充塞教本的每一页，会给最好的学生带来极坏的印象。 这种错误也是源于混淆了水平，对于一个专业数学家来讲，检验一个长的论证中的每一步形式上正确与否是必要的，虽然它不是数学家工作中最令人愉快的部分。逻辑就像是站在超市出口处的女士，她要核查篮子里每一件东西的价格。

P317：混淆水平。近代数学家们主要用集合、运算、群、域等进行工作，而很少用老式的几何和代数。因此我们应当在这些老式科目之前先教集合、运算、群、域。 这是一种意见。下面的意见和它类似： 现代的美国人更多的是驾驶汽车代替步行，因此我们在婴儿学会走步前应当先教他们开车。

第一卷 序言:

  一个解法称为是完善的，如果我们从一开头就能预见甚至证明，沿着这个方法做下去，就一定能达到我们的目的。——《莱布尼兹文集》，pp. 161

解一个问题就是意味着从困难中去找出一条越过障碍的路，使我们能够达到一个不易即时达到的目标。解题是智力的特殊成就，而智力乃是人类的天赋，因此解题可以认为是人的最富有特征性的活动。解题是一种本领，就像是游泳、滑雪、弹钢琴一样，你只能够靠模仿和实践才能学到它。假如你想要从解题中得到最大的收获，你就应当在所做的题目中去找出它的特征，这些特征在你以后去求解其他的问题时，能起到指引的作用。一种解题的方法，它若是经过了你自己的努力得到的，或者是从别人那里学来或听来的，只要经过了你自己的体验，那么它对你来讲就可以成为一种楷模，当你在碰见别的类似的问题时，它就是可供你仿照的模型。我们所讲述的，不仅仅限于解法，而且还讲述了解法的“病历”。所谓“病历”，就是这个解法所借以发现的一些实质性步骤，以及导致这些步骤的动机和想法的一种叙述。对一个特例之所以要进行这样周密的描述，目的就是为了从中提出一般的方法或模型，这种模型，在以后类似的情况下，对于读者求解问题，可以起指引的作用。任何学问都包括知识和能力这两个方面。假如你真正具有数学工作（无论是初等或是高等水平的）的经验的话，那么你会毫不迟疑地说，在数学里，能力比起单单具有一些知识来，要重要得多。在数学里，能力指的是什么？就是解决问题的才智——我们这里所指的问题，不仅仅是常规的，还包括那些要求有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造精神的问题。教师应当发扬学生的才智和推理的能力；他应当发觉并鼓励学生的创造性——但是现在问题就在于他自己所修的课程并没有充分考虑他能否熟练掌握所学的东西，更不用说去提高他的才智、他的推理能力、解题能力和创造精神了。德国谚语：不要把盖了一半的房子让傻子看见。

P279:我打算把初学者学习的那些事物写得能让他看到事物的里层内容，甚至揭示发明的源头，这种写法可以使得初学者领悟一切，就像这些事物是他本人发明的一样。-莱布尼茨《数学著作集》第七卷

14.1 教不是一门科学

假如教学这件事可以完全被科学的事实和理论所规定，那我也就不必谈论它们来徒费你的时间了。

P280：关于学的方面的心理学虽然可以给我们提供一些有趣的启示，却不能冒充为教学问题上的最终判断。

14.2教学的目标

高中课程中的数学，关于它的教学目标我有一种老式的想法：即首先和主要的，是必须教会那些年轻人去思考。

P281：

14.3 教是一种艺术

P282：

我必须承认，我是乐意做点表演的。特别是我现在已经老了，在数学上已经很难再去发现什么新的东西了，因此重演一下过去是如何发现的，心中会感到一点快慰。

教师讲解一个问题，不能光讲一遍或两遍，而往往要讲三遍四遍甚至多遍。然而，把同一句话不停地毫无变化地重复多遍，那会令人十分厌烦而且要起反作用。这里，你可以向作曲家学习，看他们是怎样处理这一问题的。音乐的一种主要艺术格式是“变奏曲调”，将这个音乐中的艺术格式用到教学中就应是：开始时用最简单的形式讲你的东西，然后略加变化地重复它，然后又增加一点新的色彩再重复它，等等，在你结束时又可以回到原来简单的形式上。另一种音乐艺术格式是“回旋曲”，将回旋曲从音乐中转移到教学里就变成：你把同一句最重要的话不加改变或很少改变地重复多次，然而在两次重复之间插入若干适当对照的叙述材料。

抽象的道理是重要的，但要用一切办法使它们能看得见摸得着。什么也不作，对于弄清你的抽象观念，可能很好也可能很坏，可能有诗意也可能很乏味。正如蒙田所说，真理是这样的伟大，我们不应该藐视任何能够达到它的手段。

P283：

14.4学习三原则

教学是一种有着无数门道的行当。每个好的老师都有自己几个拿手的高招，并且好的教师又各不相同。

任何有效的教学法必然以某种方式与学习过程的性质互相关联着。对于学习过程我们并不知道得很多，然而对于它的一些比较显著的特点即使作一个粗略的概括，也足以对我们这一行中的门道给出若干受欢迎的阐明。让我们以学习的三条“原则”来表述这一粗略的概括。

（1）主动学习。

许多人都在不同场合讲到，学习应当是主动的，不要只是被动或消极接受。仅仅靠阅读或听课、看电影而不自己动脑筋，很难学到什么东西，当然更谈不上学到很多东西了。

还有另外一种常见的与之密切相关的说法：学习任何东西的最佳途径是自己去发现。

李希坦伯格（十八世纪德国物理学家，因善写格言而知名）添了一段有意思的话：“那些曾使你不得不亲自动手发现了的东西，会在你脑中留下一条途径，一旦有所需要，你就可以重新运用它。”下面的这段叙述，虽然略逊文采，却用得更广：“为了有效地学习，学生应当在给定条件下，尽 量多地自己去发现所要学习的材料。”

这就是主动学习的原理，这是一条很老的原理，它是“苏格拉底方法”的思想基础。

（2）最佳动机。

学习应当是主动的，上面已经谈了。然而倘若学生没有学习的动机，他就不会去主动学习。他必须要有某些激励的因素，譬如说，某些报偿的期望才能促使主动学习。所学内容的兴趣乃是学习最佳的刺激，强烈的心智活动所带来的愉悦乃是这种活动最好的报偿。于是在我们不能得到最佳动机的地方，我们就应该争取得到第二位第三位的动机，那些不那么内在的动机也不应当忽略掉。

为了有效地学习，学生应当对所学习的材料感到兴趣并且在学习活动中找到乐趣。此外，除了这些学习的最佳动机之外，也还有其他的，其中有些也是值得考虑的动机（例如不学习会带来惩罚也许是最后一个可供考虑的动机）。

我们把上面的叙述称为最佳动机原理。

3、阶段序进。

人的认识从感觉开始，再从感觉上升到概念，最后形成思想。-康德《纯粹理性批判》1978年英文版

请允许我谈一下我对康德这句格言的理解：

学习从行动和感觉开始，再从这里上升到语言和概念，最后形成该有的心理习惯。

请你一开始就将这个句子里的词按你自己经验所能具体描述的意义去理解（促使你按个人经验去思考也是想取得的效果之一）。

词的这种具体解释，当我们联想的是某些简单粗浅的事物时，当然显得比较容易理解和自然。然而，我们可以发现，在把握那些涉及更加复杂和高深材料的工作中，也存在着认识的类似阶段。让我们将它们区分为三种阶段：探索阶段、形式化阶段和同化阶段。

第一个探索阶段更接近于行动和感受，处在一种比较直观带

P285：启发性的水平上；

第二个形式化阶段，引入了术语、定义、证明等，上升到了一个较为概念化的水平上；

最后出现的是同化阶段，这里

应当有一种洞察事务“内部环境”的尝试，应当让学习的内容经过消化吸收到学生的知识体系中，到学生的整个精神世界中去，这个阶段一方面铺平了通向应用的道路，另一方面又打开了向更高级推广的道路。

我们综合一下：对于有效的学习，在语言文字表达及概念建立的阶段之前应当有一个探索阶段，最后，学习所得将转化为学生的才能和品性，融入其中，变成精神素质的一部分。

这就是阶段序进原理。

14.5教学的三原则

（1）主动学习。

不幸的是，甚至在中学里，时间也是限定的，许多规定的内容要去完成，因此事情不能都用对话的形式去进行。然而，原则是：在给定的条件下，应让学生们尽可能地靠他们自己去发现。

能够做的总是比已经在做的要多，我确信如此。我在这里向你推荐一种小小的门道：让学生主动地为问题的明确表述贡献一份力量。假如学生们在问题的提出过程中自己起过作用，则以后在学习中就必然会显得更加主动积极。

事实上，在科学家的工作中，去明确表述出一个问题也许是发现的更主要的一个部分。问题的求解比起问题的明确表述来，就常常不需要那么多的见识和独创了。因此，让学生在表述工作中分担一部分，你就不仅能推动他们更加努力地去工作，而且也教给他们一个应有的思维方式。

（2）最佳动机。

教师应当把自己看成是一个推销员，他要把某些数学知识推销给年轻人。

作为一个教师，作为一个知识的推销员，他的责任就是使得学生们确信数学是有趣的，使他们感到刚刚讨论的那个问题是有趣的，让他做的那些题是值得他努力去做的，等等。

因此，教师应该注意选择好提出的题目，将它组织好进行适当的介绍。假如我们想鼓励学生做出真正地努力，我们总得给他们讲出点道理，使得他感觉到值得花力气去干这件事。

让我在这里推荐一个小小的实际可行的办法:在

学生开始做题之前,先让他猜猜结果或猜猜部分的结果。于是表示过意见的孩子就约束住了自己，因为结果如何多少影响到他的面子和自尊，因此他就急于要知道他的猜测是不是对的，这样

P287：他就会积极关注于他的作业和课堂上的工作——也就无暇去打瞌睡或捣乱了。

事实上，在科学家的工作中，猜测几乎总是走在证明的前头的。因此，让你的学生们去猜结果，这不仅调动了他们工作的积极性，并且你还教给他们应有的思维方式。

（3）阶段序进。

常规的习题也许是有用的甚至是必需的，我 并不反对它们。然而它们忽略了两个重要的学习阶段：探索阶段和同化阶段。这两个阶段都是要寻求手头上的问题与周围世界和其他知识领域的联系，不过第一个阶段是在正式求解之前，而后一个阶段则是在正式求解之后。

跟这些常规的习题对比，高级中学 应当时常介绍更多一些带挑战性的题目，一些具有丰富背景并值得深入探索的题目，一些能预先品味到科学家工作的题目。

这里有一个实际工作上的提示：假如你准备拿到班上讨论的题目是合适的，那么不妨让你的学生预先做一些探索工作，这可以提高他们正式解题的兴趣。此外保留一点时间对已完成的解进行一些回顾性的总结讨论，这对后来的题目的求解将是有好处的。

（4）我认为这些原则可以贯彻到教师日常工作中的各个环节中去并且能使他成为一个更好的教师。我同样认为这些原则也应当贯彻到整个教学计划中去，贯彻到每门课程的计划以及每门课程的每一章节的计划中去。