1、由于高斯分布方差的最大似然估计为有偏估计，导致方差估计值在样本量较小时有较大的低估。[1]
假设单一变量X分布（这里用高斯分布，实际也不是必要），虚线为负样本（数据量较大），实线为正样本，他们中间有较小部分的overlap。
结论是，模型对实线虚线的预估，会一定程度上比真实值偏右（方差比真实实线方差更小）。从直觉也很好理解，因为副样本的数量较多，所以在overlap的区域，预估错负样本（将负样本预估成证样本）的代价更大，所以模型预估的时候，得到的实线比真实偏右（方差值被低估，P(y=1)的概率值，也被低估）
在LR中，针对这周情况对ctr值的修正可以通过一系列推断得出[5]：
pi为原预估概率。Beta为参数。V(Beta)为参数的协方差矩阵。这个公式直觉上来理解的话，V(Beta)代表了参数的不确定性，如果Beta本身是确定的，那么其协方差矩阵为全0矩阵，则C项为0。换句话说，参数的不确定性越高，调整的系数越大。另外，0.5-pi项决定了系数的正负，对于概率低于0.5的（即发生概率更小，样本数更少的类别），概率是低估的，系数项为正。
2、在实际的应用中，预估值同样会受到数据采样的影响[2]
常用的方法有通过prior对其进行修正，以及通过样本loss权重进行修正。[3]
以及针对采样率的参数，直接对预估ctr做修正。采样得到的后验概率与真实后验概率的关系[4]：
refer:
[1] 《计算广告》15.3
[2] https://zhuanlan.zhihu.com/p/35580375
[3] http://vividfree.github.io/%E6%9C%BA%E5%99%A8%E5%AD%A6%E4%B9%A0/2015/12/15/model-calibration-for-logistic-regression-in-rare-events-data
[4]When is undersampling effective in unbalanced classification tasks?(http://www.oliviercaelen.be/doc/ECML_under_v4.pdf)
[5]Logistic Regression in Rare Events Data
