隋以前月行迟疾历基本算法

基本数据

朔望月：朔大余\frac{朔小余}{日法} = \frac{月法}{日法} 

近点月：周日\frac{日余}{ 周法 } = \frac{通周}{周法}

月实行分：实测，与月平行分同以章岁为分母，得行度

月平行分=章月+章岁

损益率_{i} =月实行分_{i} -月平行分

盈缩积分_{i} = \sum_{i=1}^{28} 损益率_{i}

差法_{i}=月实行分_{i}-章岁

i为入历日数

迟疾历相关数据见历代日躔月离表校正

基本公式

计算原理：

以上元以来积日（含小数）对近点月求余，得入近点月日数（含小数）。整数部分据月行迟疾历表得该日盈缩积分（夜半），小数部分乘该日损益率即不足一日的盈缩积分（加时），加总得合朔时的盈缩积分，称定积分，表示该合朔时在近点月内月实行与平行的总差，用除差法（月日相对速度），得行定积分所需时间，以减平朔大小余即为定朔大小余。（忽略日行）

①朔积分=上元积月×月法

大余\frac{小余}{日法} = \frac{朔积分}{日法}

②入历日数\frac{入历日余}{周法} =\frac{朔积分}{日法 }mod\frac{通周}{周法}

③定积分=盈缩积分\pm \frac{入历日余}{周法} ×损益率

④\frac{定小余}{日法}=\frac{小余}{日法}\pm\frac{定积分}{差法}

⑤定大余\frac{定小余}{日法} = 大余\frac{小余}{日法}\pm\frac{定积分}{差法}

定大余\frac{定小余}{日法} =大余+\frac{小余}{日法}\pm\frac{盈缩积分\pm \frac{入历日余}{周法} ×损益率}{差法 }

定大余\frac{定小余}{日法} = 大余+\frac{小余}{日法}\pm\frac{(盈缩积分\pm \frac{入历日余}{周法} ×损益率)×日法}{差法×日法}

定大余\frac{定小余}{日法} =大余+\frac{小余}{日法}\pm\frac{盈缩积分×日法\pm \frac{入历日余}{周法} ×损益率×日法}{差法×日法}

定大余\frac{定小余}{日法} = 大余+\frac{小余\pm\frac{盈缩积分×日法\pm入历日余×损益率×\frac{日法}{周法}}{差法}}{日法}

若使用历代日躔月离表校正中数据计算，第一个±号一律用负号，第二个一律用正号。

具体历法中，一般对于“盈缩积分×日法±入历日余×损益率×日法÷周法”，令“盈缩积分＝盈缩积分×日法，损益率＝损益率×日法÷周法或日法＝周法”以化简得到“盈缩积分±入历日余×损益率”的简单式。

各历公式形式

若参数与基本数据同名而含义不同，上加·以示区别。以下推导的最终形式，即各历术文的表达形式。

乾象历

周法：周日法/周法/日法；通周：历周；月法：通法；周半：月平行分÷2；

\dot{差法} =周半 ×差法

\dot{通周} =周日法×通数=日法×周半

①朔行分=朔行大分\frac{朔行小分}{通数} =\frac{周半×通法}{通数}-历周

②入历日数\frac{日余大分\frac{日余小分}{通数} }{周法} =\frac{(上元积月×朔行分)mod历周}{周法}

⑤定大余\frac{定小余}{日法} = 大余+\frac{小余}{日法}\pm\frac{定积分×周日法}{差法×周日法}

定大余\frac{定小余}{日法} = 大余+\frac{小余}{日法}\pm\frac{盈缩积分×周日法\pm \frac{入历日余}{周日法} ×损益率×周日法 }{差法×周日法}

定大余\frac{定小余}{日法} =大余+\frac{小余}{日法}\pm\frac{盈缩积分×周日法×通数\pm 日余大分\frac{日余小分}{通数} ×损益率×通数 }{差法 ×周日法×通数}

定大余\frac{定小余}{日法} = 大余+\frac{小余}{日法}\pm\frac{盈缩积分×\dot{通周}\pm (日余大分×通数+日余小分) ×损益率 }{差法 ×周半×日法}

定大余\frac{定小余}{日法} = 大余+\frac{小余\pm\frac{盈缩积分×\dot{通周}\pm (日余大分×通数+日余小分) ×损益率 }{\dot{差法}}}{日法}

景初历

月法：通数；周法=日法

\dot{盈缩积分} = 盈缩积分×日法

迟疾纪差=通周-(纪月×通数)mod通周

入纪迟疾差=(甲子纪迟疾差-入纪数×迟疾纪差)mod通周

①入纪朔积分=纪内积月×通数

②入历日数\frac{入历日余}{日法}=\frac{(入纪朔积分+入纪迟疾差)mod通周}{日法}

⑤定大余\frac{定小余}{日法} =大余+\frac{小余}{日法}\pm\frac{(盈缩积分\pm \frac{入历日余}{日法} ×损益率)×日法}{差法×日法}

定大余\frac{定小余}{日法} =大余+\frac{小余}{日法}\pm\frac{(盈缩积分×日法\pm 入历日余 ×损益率)}{差法×日法}

定大余\frac{定小余}{日法} = 大余+\frac{小余}{日法}\pm\frac{(\dot{盈缩积分 }\pm入历日余 ×损益率)}{差法×日法}

定大余\frac{定小余}{日法} =大余+\frac{小余\pm\frac{\dot{盈缩积分 }\pm 入历日余 ×损益率}{ 差法 }}{日法}

元嘉历

周法=日法

\dot{盈缩积分} = 盈缩积分×日法

迟疾纪差=(纪月×通数)mod通周

入纪迟疾差=(甲子纪迟疾差+入纪数×迟疾纪差)mod通周

定差法=差法±\frac{入历日余×列差}{日法}

①入纪朔积分=纪内积月×通数

②入历日数\frac{入历日余}{日法}=\frac{(入纪朔积分+入纪迟疾差)mod通周}{日法}

④\frac{定小余}{日法}=\frac{小余}{日法}\pm\frac{定积分}{定差法}

⑤推导过程同景初历

定大余\frac{定小余}{日法} =大余+\frac{小余\pm\frac{\dot{盈缩积分 }\pm 入历日余 ×损益率}{ 定差法 }}{日法}

大明历

周法：通法；

\dot{损益率} =损益率\times \frac{日法}{通法 }

\dot{盈缩积分} =盈缩积分\times 日法+\Delta

gcd(日法，周法)=13，日法\div 13=303

①朔积日\frac{小余 }{日法} =上元积月\times \frac{月法 }{日法}

②夜半入历日数\frac{入历日余}{通法} =朔积日mod\frac{通周}{通法} =\frac{(朔积日×通法)mod通周}{通法}

\frac{朔差日余\frac{小分}{303}}{周法} =\frac{朔小余}{日法}=\frac{朔小余×周法}{日法×周法}=\frac{朔小余×\frac{周法}{日法}}{周法}

入历日数\frac{入历日余}{通法} = 夜半入历日数+\frac{入历日余+朔差日余+\frac{小分}{303} }{通法}

⑤定大余\frac{定小余}{日法} =大余+\frac{小余}{日法}\pm\frac{(盈缩积分\pm \frac{入历日余}{通法} ×损益率)×日法}{差法×日法}

定大余\frac{定小余}{日法} = 大余+\frac{小余}{日法}\pm\frac{盈缩积分×日法\pm 入历日余×损益率×\frac{日法}{通法} }{差法×日法}

定大余\frac{定小余}{日法} =大余+\frac{小余}{日法}\pm\frac{\dot{盈缩积分} \pm 入历日余×\dot{损益率} }{差法×日法}

定大余\frac{定小余}{日法} =大余+\frac{小余\pm\frac{\dot{盈缩积分 }\pm 入历日余 ×\dot{损益率} }{ 差法 }}{日法}

正光历、兴和历

小周=月平行分；周法=日法

\dot{盈缩积分} =盈缩积分\times \frac{日法}{小周}

正光历：迟疾纪差=通周-(纪月×通数)mod通周

入纪迟疾差=(甲子纪迟疾差-入纪数×迟疾纪差)mod通周

兴和历：迟疾纪差=(纪月×通数)mod通周

入纪迟疾差=(甲子纪迟疾差+入纪数×迟疾纪差)mod通周

①入纪朔积分=纪内积月×周天分

②入历日数\frac{入历日余}{日法}=\frac{(入纪朔积分+入纪迟疾差)mod通周}{日法}

③\dot{ 定积分} =\dot{ 盈缩积分}\pm \frac{入历日余×损益率}{小周}

⑤以小周代差法

定大余\frac{定小余}{日法} =大余+\frac{小余}{日法}\pm\frac{盈缩积分\pm \frac{入历日余}{日法} ×损益率}{小周}

定大余\frac{定小余}{日法} =大余+\frac{小余}{日法}\pm\frac{(盈缩积分\pm \frac{入历日余}{日法} ×损益率)×日法}{小周×日法}

定大余\frac{定小余}{日法} = 大余+\frac{小余}{日法}\pm(\frac{盈缩积分×日法}{小周×日法}\pm \frac{\frac{入历日余}{日法} ×损益率×日法}{小周×日法})

定大余\frac{定小余}{日法} = 大余+\frac{小余}{日法}\pm(\frac{\dot{盈缩积分}}{日法}\pm\frac{入历日余×损益率}{小周×日法})

定大余\frac{定小余}{日法} =大余+\frac{小余\pm(\dot{盈缩积分 }\pm \frac{入历日余 ×损益率}{ 小周 })}{日法}

大业历、戊寅历

戊寅历：历法=周法

\dot{损益率} =损益率\times \frac{日法}{周法 }

大业历：\dot{盈缩积分} =\Sigma[(转分×10-月平行分)×日法+\Delta ]

戊寅历：\dot{盈缩积分} =\Sigma[(行分-月平行分)×日法+\Delta ]

①朔积日\frac{小余 }{日法} =上元积月\times \frac{月法 }{日法}

②夜半入历日数\frac{入历日余}{周法} = 朔积日mod\frac{周通}{周法} =\frac{(朔积日×周法)mod周通}{周法}

\frac{日余\frac{小分}{22}}{周法} = \frac{朔小余}{日法}=\frac{朔小余×周法}{日法×周法}=\frac{朔小余×\frac{周法}{日法}}{周法}

入历日数\frac{入历日余}{周法} = 夜半入历日数+\frac{入历日余+日余\frac{小分}{22} }{周法}

③定积分= \frac{\dot{盈缩积分}\pm入历日余 ×\dot{损益率}}{差法}

⑤推导同大明历

定大余\frac{定小余}{日法} = 大余+\frac{小余\pm\frac{\dot{盈缩积分 }\pm 入历日余 ×\dot{损益率} }{ 差法 }}{日法}

皇极历


麟德历——授时历

自麟德历起，各历周法即日法，以月平行分代差法，其损益率皆作“（月实行分－月平行分）÷月平行分×日法”，故可直接对损益率插值求得定盈缩，加入平朔小余即得。

\dot{损益率} =损益率\times \frac{日法}{月平行分}

\dot{盈缩积分} _{i} = \sum_{i=1}^{28} \dot{ 损益率}_{i}

②定积分=盈缩积分\pm \frac{入历日余}{周法} ×损益率

定盈缩=\dot{盈缩积分} \pm \frac{入历日余}{日法} ×\dot{损益率} =\frac{定积分 ×日法}{月平行分}

⑤定大余\frac{定小余}{日法} = 大余+\frac{小余}{日法}\pm\frac{定积分×日法}{差法×日法}

定大余\frac{定小余}{日法} = 大余+\frac{小余\pm\frac{定积分×日法}{月平行分}}{日法} = 大余+\frac{小余\pm定盈缩}{日法}

定大余\frac{定小余}{日法} = 大余+\frac{小余\pm\dot{盈缩积分} \pm \frac{入历日余}{日法} ×\dot{损益率} }{日法}

参考资料：

《历代天文律历等志汇编》，中华书局，1976。

张培瑜等《中国古代历法》，中国科学技术出版社，2007。

刘洪涛《古代历法计算法》，南开大学出版社，2003。

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