交叉熵推导

定义：

  • 信息量公式：
    （一个事件发生时，所包含的信息量，发生的概率越低，包含的信息量就越高，比如明天的太阳打东边升起，就是一句几乎不包含信息的话）
    I(x_0)=-log(p(x_0))
    其中x_0为随机变量的某个特定值，p是随机变量X的概率质量函数
  • 熵公式：
    （随机变量的信息量的期望值）
    离散：
    \begin{aligned} H(X)=E[I(X)]&=\sum_{i=1}^{m} I(x_i)p(x_i) \\ &=\sum_{i=1}^{m} -log(p(x_i))p(x_i) \\ &=-\sum_{i=1}^{m} p(x_i)log(p(x_i)) \end {aligned}
    连续：
    暂时不讨论
  • 相对熵：
    （KL散度，讨论的是一个概率如果用另一个概率来描述时，它所需要的额外信息量，被称为信息增量）
    现在存在两个概率p与q，他们都是随机变量X的分布函数，现在它们的信息熵分别为：
    \begin {aligned} H_p(X)=E_p[I(X)]&=-\sum_{i=1}^{m} p(x_i)log(p(x_i)) \end {aligned} \\ \begin {aligned} H_q(X)=E_q[I(X)]&=-\sum_{i=1}^{m} q(x_i)log(q(x_i)) \end {aligned}
    \begin {aligned} D_{KL}(p||q)=\sum_{i=1}^m p(x_i) ln(\frac {p(x_i)} {q(x_i)}) \end {aligned}

推导可得交叉熵

  • 交叉熵：
    \begin {aligned} D_{KL}(p||q)&=\sum_{i=1}^m p(x_i ) ln(\frac {p(x_i)} {q(x_i)}) \\ & =\sum_{i=1}^m p(x_i) [ln(p(x_i)) - ln(q(x_i))] \\ & =\sum_{i=1}^m p(x_i)ln(p(x_i)) - \sum_{i=1}^m p(x_i) ln(q(x_i)) \\ & = -H(X) + [-( \sum_{i=1}^m p(x_i) ln(q(x_i)))] \end {aligned}
    其中，-( \sum_{i=1}^m p(x_i) ln(q(x_i)))就是交叉熵。
    H(p, q)=-\sum_{i=1}^m p(x_i) ln(q(x_i))

参考：
一文搞懂交叉熵在机器学习中的使用，透彻理解交叉熵背后的直觉-史丹利复合田
期望值-维基百科
相对熵-维基百科

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