（十九）在上文中，我们一直在强调创造性的独立思考在打好本科课程基本功的巨大重要性，即在打好基本功的过程中，我们需要发挥自己的主动精神，通过自身的想象力来吸收广博的本科知识，给它们打上自身思维方式的烙印。同时，我们也需要以一种充满想象力的方式审视打好本科基本功的丰富价值：一方面，在打好基本功以后，我们能够更加有效地驾驭自己的工作与生活，我们也能够更好地发挥自己在技术上的创造精神，为社会发展做出真正的贡献；然而，在更为宽广的思想视野下，打好基本功的目的不应过于功利，它的本质目标不是为了更好的薪水，或者更高的社会地位，而是有着更为广阔的人生价值，即打好基本功能够增强我们对某一个具体领域的浓厚兴趣，能够让我们品尝到专业知识的精神食品中蕴含的丰富滋味；同时，坚实的基本功能够拓宽我们的人生视野，因而，我们能够更有效地发挥自身的想象力与首创精神，能够使自己的人生更为充实、深刻和饱满；总之，增强我们对自身专业的兴趣、想象力、创造力继而增强我们对人生的想象力、探索热情和创造性态度才是打好本科课程基本功的本质目标。总结而言，无论是在打好本科基本功的过程中，还是完成这个目标之后，我们都需要超越现实层面的狭窄目标，而进入到更为广阔的知识和心智领域；我们应该始终抱着浓厚的好奇心来审视自身的专业和人生，而打好基本功能够帮助我们更好地追随自身的热情和志趣，能够使我们以更为辽阔坚实的想象力来面对人生、社会和宇宙。[1]总之，过于现实的、功利的目标会极大地缩小打好本科基本功的丰富价值。一句著名的西方谚语“All work and no play made Jack a dull boy.”与本段强调的基本精神有部分相合之处。

（二十）与此同时，我们应当明确学好理工科本科课程的整体目标，即学好本科课程面向的应该是本科时期的所有与自身研究相关的基础课程；因为，每个理工科专业中的所有基础课程构成了一个有机整体，这些课程中存在着强烈的内在联系；因而，我们需要在所有与自身研究相关的基础课程上都打下坚实的基础，这样才能够为我们未来的实际工作奠定广阔的专业基础。数学各门课程之间的相互联系是一个人所熟知的基本事实，举例来说：在泛函分析中，我们可以运用Banach压缩映照原理解决常微分方程解的存在唯一性这个核心问题，如果我们对常微分方程这门课程不太了解的话，对Banach压缩映照原理的内在价值的理解就会缩小不少，即泛函分析与微分方程有着密切的关联；同样地，在抽象代数中，利用域扩张定理解决三等分角的不可能性时用到了复变函数中的知识；而高等代数中的代数基本定理的证明则可以有基于多元微积分中的思想的证明，也有分别基于代数拓扑和复变函数的相关思想的巧妙证明，而代数基本定理在代数学中自然具有基本的重要性，即代数学与数学分析、拓扑学等课程亦有深刻的内在关联。总之，数学的整体性是现代数学的一个基本特点，它的不同课程之间的相互影响广泛而深刻，而且都触及到了每门课程的核心区域；数学如此，每个理工科专业也大体都是类似的[2]。因而，为了在任何一个理工科领域中脱颖而出，我们必须在本专业所有与自身研究相关的本科基础课程中都打下坚实的基础；此时，学好理工科本科课程的另一个主要目的即很清楚了：由于每个理工科专业的整体性这一核心特征，因而，我们必须学好本专业所有与研究相关的本科基础课程；这一重新学习本科课程的整体过程大体是：在重复大一、大二的课程时（学习需要遵循循序渐进的基本原则，因而，我们应当首先重复大一、大二的课程），由于当时的思维境界较低，因而，我们的学习速度会较慢，花费的时间会较长；但是，在重复完大一的基础课程之后，伴随着思维能力的很大提高，在重复大三、大四的课程时，我们花费的时间会有较大的降低。

与此同时，虽然本文坚持学好本科大部分课程的基本观点，但是考虑到实际情况的复杂性，可能有些个体认为不需要特别留意与自身研究领域不太相关的某些课程，这也是可以理解的[3]。但是，我们对与自己的研究领域相关的基础课程必须非常熟悉；如研究偏微分方程的学生，必须对数学分析、泛函分析、高等代数、常微分方程等课程高度熟练，要达到能够大体解出其中的全部习题的程度。

（二十一）最后，应该指出的是，我目前只是掌握了4-5门课程，距离掌握全部与自身研究相关的本科基础课程还有一段较远的距离；但是，我的思维能力毕竟有了巨大提高，因而，我认为，后面的学习过程会轻松一些。

当2016年秋天，我彻底掌握了数学分析等课程以后，我发现它们并非特别困难的课程，但是，我竟然经历了这样一段漫长曲折的旅程才抵达这个境界，这令我产生了一种复杂的情感，我在怀疑：之前付出的如此巨大的精力是否必需？毕竟这些知识是很自然的；但是，我清楚地意识到，直到2015年，这些知识对我而言仍然晦涩而艰深，因而，这段智力旅程无疑是一次真实的经历；而且，我认为，这段较为漫长的学习历程对各个理工科领域都有很大的普遍性。到2016年秋天，当这些课程的内在脉络清晰地浮现出来，当其中的众多自己以往认为技巧很高的部分显现出了它们的朴实无华的面貌之后，我对这一段曲折有趣而又层层深化的学习过程更多了一分平实而亲切的感受。

稍后，我意识到我所以花费了3年7个月左右的时间才学好了这4、5门课程的原因是较为简单的：其一，这些课程的容量都相当广，都包含了数以万计的思想、数以千计的技巧以及大量的概念和方法，而且这些概念、技巧都相互联系着，因而，掌握这样巨大的信息量自然需要较长的时间；其二，这些课程都具有一定的深度，很多题目、内容都有相当的难度，因而，对于它们的理解会经历一个由浅到深的过程，这也需要较长的时间。总之，由于广度和深度这两个基本方面原因的叠加，我才需要投入3年7个月左右的时间来掌握这些课程。

（二十二）在这里，我们有必要详细地分析一下浮泛地学习基本课程这一研究方式所产生的内在原因（这一粗浅的研究方式既发生在一些37、8岁的工作者中，也发生在很多专业的大量博士生身上）。很多研究偏微分方程、数值PDE的工作人员对PDE和有限元等基本内容掌握的其实都非常浮泛；关于偏微分方程，他们对波动方程中D’Alembert公式的推导过程，对分离变量法，对齐次化原理的使用（齐次化原理在一维非齐次方程、高维非齐次方程、与分离变量法的结合等多种不同的场合都会出现），对能量方法（能量不等式的推导），调和方程的变分原理等内容其实都没有真正掌握，他们并不会解决相应的课后题，也没有掌握这些内容的复杂细节（的确，真正学懂之后这些内容会发现它们并不是很困难，但这些工作者浮泛的工作方式导致他们与真正掌握它们相隔着很大的距离）。关于数值PDE，他们对于方程的离散化，高维方程的stiffness矩阵、mass矩阵的推导过程，高维方程有限元的误差估计的推导，有限差分方程的稳定性的实质，有限差分的误差估计等基本内容有的也是肤浅、混乱的理解。

 理工科课程之所以容易出现浮泛学习的基本现象，是因为理工科的知识点具有一些深层的基本特征；以偏微分方程为例，波动方程的分离变量法、膜振动方程的推导、球平均法以及调和方程的Green函数等知识点都具有三个重要的基本特征：1复杂，2细致，3深入。这些知识点如果笼统地看会觉得自己似乎已经掌握了，但如果真正深入钻研，即会发现：首先，它们其实包涵着大量的细节，这些细节都需要仔细地推导；其次，它们用到了多种复杂的思想，与基础课程、本课程、后续课程的其他知识点之间也存在着错综复杂的联系；第三，它们其实都有着一定的思想深度；显然，理工科课程的几乎所有知识点都具有上述的三个重要特征。总之，理工科课程的知识点所具备的这三个基本特征使得在真懂和貌似懂之间存在着巨大的差别，也使得很多工作者确实很容易出现笼统、浮泛学习的现象。

从上面的分析中我们即能看出，在理工科里，如果浮泛地学习所有课程最多只能做出一些二、三流的研究，绝对不可能做出真正重要的贡献，这一点是无可置疑的。（因为，真正掌握一门课程是很困难的，而只有真正掌握了一门课程才能做出好的贡献）

各位可能会问：为什么我对这些浮泛地阅读前沿论文的学生的思想状况这么熟悉呢？答案是简单的，因为在重复本科课程之前，我关于偏微分方程和数值PDE的理解就处在与他们类似的程度中，对这些课程我当时学得也缺乏足够的深度以及具体、丰富的理解。总之，即使对专攻某一个具体方向的个人（如专攻微分几何方向的研究人员），他们对自己本方向的基础课程都学得不够深入、细致，以这样薄弱的功底能够在自己的研究方向上搞出有意义的结果会是很困难的事情；因而，我们所强调的加强自身的基本功这一理念就显得较有意义。

（二十三）下面，我们想分析一下浮泛地阅读前沿论文这一研究方式带来的一些负面影响。在当今的大学研究生院中，在5年的博士期间，大部分的博士生在前两年通过资格考试之后即开始了独立研究的过程，即他们此时开始了阅读前沿论文和专著，进而独立展开研究的过程。这一研究方式是这样的普遍和流行，以至于几乎所有人都已习以为常；然而，这一研究方式的负面效应亦值得我们深思，此时，大量思维能力处于‘普通’层次的学生对基础课程的理解还存在着比较严重的问题，这导致他们对前沿论文的理解也存在着比较严重的内在缺陷；因而，这些学生的研究质量几乎难以避免地存在着较大的问题。整体来讲，这一浮泛地阅读前沿论文的研究方式源于对理工科知识、学习、创新的基本特征缺少深刻的理解。

容易明白的是，浮泛地阅读前沿论文与浮泛地学习基础课程是相互联系、相互影响的。由于浮泛地学习基础课程，导致基本功不坚实，因而，对前沿论文的理解在深度与广度两方面都存在很大的问题。反之，浮泛地阅读前沿论文的主要原因是由于求职、工作等方面的考虑而急于做出一些原创性的结果；在大学里，由于发表论文方面的压力，一些从业者急于发表一定数量的论文，而在公司里，由于工作任务的急迫要求，也使他们必须不断学习一些前沿技术；因而，他们都不愿意在基础课程上投入足够的精力，自然导致缺少全面、深厚的基本功底；即浮泛地阅读前沿论文也导致了浮泛地学习基础课程。总之，我们需要对这一基本现象有足够的反思。

整体而言，浮泛地学习基础课程会带来两个基本后果：1对于所有的课程掌握的信息广度都不够，以实变函数来说，它包涵了大量的信息、细节，而一位浮泛学习的数学工作者对于实变函数包含的思想、技巧、信息、细节等大概只掌握了20%，而且是最为简单的20%的知识；容易理解的是，一个浮泛地学习基础课程的工作者对于所有课程都只掌握了20%最简单的内容。2由于掌握的信息量不够丰富、细致，导致这些工作者对于相关课程的理解十分浅显，他们只能理解一些浅层的思想，只能解决其中一些简单的习题（例如，对实变函数来说，他们只能解出20%左右最简单的题目），难以体会到这些课程中蕴涵的很多深层的思想、精神实质；一个自然的现象是，这些从业者对于所有课程的理解都很浅显。信息广度的不足和理解的浅显在研究中会导致两个基本现象：1就理论、问题而言，由于薄弱的基本功，一个浮泛地阅读前沿论文的工作者往往根本意识不到哪些理论、问题是自身研究领域中重要、核心、有意义的理论与问题；2 就思想、技巧、概念等构建理论与解决问题的工具而言，由于浮泛地学习基础课程导致的基本功的薄弱，使得他们即使能意识到某些理论、问题是有意义的新方向，也很难利用已有的工具或者开发新的思想、概念、方法等新工具来解决这些问题。

总之，这类工作者在未来做出重要贡献的可能性是微乎其微的，他们几乎必然只能做出一些简单、边缘性质的创新。

（二十四）考虑到本科基础课程的广博性，在某几门课程上学得不够坚实，掌握得比较浮泛是可以理解的，而且不会妨碍我们做出最好的研究；但是，如果在所有本科课程上都学得很浮泛（这些在从业者中占一定的比例）则是无论如何都不可以接受的。

以数学领域来说，一个广为人知的事实是，很多从事分析学研究的学者代数、拓扑掌握的比较差，而某些从事代数、几何研究的学者分析学的功底则较薄弱，而另一些研究几何学的学者也存在着一定的知识结构的内在缺陷；这些知识结构上的缺陷并不妨碍相关学者做出最杰出的贡献，像Weyl这样在分析、代数和几何三个主要领域都做出卓越贡献的数学家毕竟只是少数。结合这一基本事实，在本文中，我们所强调的只是：如果一位理工科工作者在所有基础课程上的功底都比较浮泛，那么他的研究、工作的质量不可能很好。

（二十五）那么为什么我们要在初始阶段重复几十遍，将某门课程学精、解出许多困难的题目呢？我想有经验的理工科从业人员也都知道，在学习某门课程的时候，我们需要做一定量的困难的题目；其中的深层原因是不难理解的，我们认为至少有三个基本方面的理由：1如我们所了解，我们学过的课程中大部分定理、方法的证明过程都是较为困难的，这充分证明，在大部分情形下，创新是以创造性地解决较为困难的问题为基础的；由于创新的这一基本特征，解决较为困难的习题即显得很重要。2只有解决一些较为困难的问题，我们才能理解一门课程的精神实质；因为，解决困难的问题需要对一部分知识融会贯通，需要创造性地使用一些重要概念，而且计算往往较为复杂，这就能够训练我们对某门课程的深层次且整体性的理解；因而，如果只是做一些简单的问题，我们就错过了一门课程的大部分精华。如所熟知，当我们能够解决一些困难的问题以后，再去做容易的问题会感觉分外简单。3只有解决一些较为困难的问题，我们才能体会到学习、研究的趣味，简单的问题往往只是机械地照搬公式，思路较为模式化，缺少灵活的技巧与深刻的思想，因而，也就使得我们难以体会到特定知识的魅力。总之，解决较为困难的习题是理工科学习中必不可少的环节；尽管简单性也是理工科的一个基本特征，但是，解决困难的问题也是很难回避的必要环节。

 理工科领域中的浅层信息与深度思想是一个有趣而重要的基本问题。我们都遇到过一些理工科从业人员对每门课程都只有很浅的理解，他们对课程中的具体理论掌握的很浅，同时解题也只能解出一些简单的问题，对大部分难题都无法解答，因而他们的研究工作也必然只能处理一些很浅、枝节性的问题，这种肤浅的研究方式无疑是在虚耗每个人的宝贵生命。原因在于理工科领域的一个重要特征是每门课程都具有一定的深度，这就需要做一定量的难题；许多知识、理论并非我们误认为的那样浅显，其实它们包含了很多具有相当深度的技巧。   

的确，理工科领域中许多情况下是简单的思想打开了局面（如微积分中的Taylor展开，高等代数中的相似标准型等），但是，这些简单的思想其实也建基于对整个领域的深度理解，建立在研究个体深厚的知识、思想基础之上。总之，我们需要对理工科课程的深度有充分的认识。[4]

就更广的意义上说，如人们的普遍认识，在数学、物理、化学等科学研究中，“deep”是一个很重要的特点；那么，相应于本文所阐述的重复几十遍这一方式，如果我们不将一些课程、论文等重复看很多遍的话，我们的研究怎么能有深度呢？我觉得这是一个不难理解的道理。事实上，很多好的学者都会把一些课程、论文等重复不少遍数。[5]

（二十六）本文针对的一个很大的群体是思维能力处于“普通”层次的理工科从业人员，他们中的很多人并没有系统地学好本科课程，而是浮泛地阅读前沿论文，这种工作方式导致的最终结果是：第一，他们的能力始终处于较低的层次；第二，对于本科课程中的具体知识，这部分从业者也没有熟练掌握，对所有的本科课程他们掌握得都较为浮泛。这样肤浅的知识结构与较低的整体能力的叠加导致他们只能进行一些边缘性质的、不很重要的创新，这样无论如何都是不行的。众所周知，在大部分理工科领域里，从业人员们创造力最为旺盛的阶段都是在45岁之前，因而，这一学好全部相关的本科课程的过程需要尽早实行。而这些从业人员之所以并未启动重新学习本科课程的过程，并不是因为他们不愿意如此，而是因为他们并未意识到自己的本科基础课程学得很差。

对于一些思维能力处在“普通”层次的个人来说，可能其中的部分从业人员也曾经零散地重复过本科课程，但是他们并没有进行全盘学习本科所有与自身研究相关的知识这一庞大过程，原因有三个方面：第一，他们没有意识到这一过程的艰难性，即便对于数学分析，我也是重复了3年7个月的时间以后才能够解决大部分问题，显然，这是一个长期而困难的过程。第二，他们没有意识到这一过程的广阔性，部分人可能只是重复了部分本科课程，他们没有意识到我们应当重复本科阶段所有与自身研究相关的课程。第三，他们没有意识到这一过程的高度重要性，因为这些从业人员对自身基本功不够扎实这一状况缺乏全面而深刻的理解，他们可能认为这只是一个无关紧要的问题，但实际情况并非如此，本科课程中的基本功对每个个体来说都具有重大意义。在理工科从业人员中，存在着一种普遍的认识误区：我们的本科基础课程可能学的并不是太好，但应该影响不是太大，而且想学好的话，也不是太困难，这并不是一个多么严重的问题；然而在我们看来，这是一个非常错误的观点，学得好的学生与普通学生对基础课程的掌握（即便是大一时期的数学分析）其实存在着巨大的差异。在现实生活里，这三方面的原因是相互交织的，因而，导致并没有太多从业人员进行重新学习本科课程这一高度重要的过程。

需要指出的是，在理工科工作者中还有小部分的学生则有一定的功底，他们能够解出部分的课后题（如该层次的一些学生能够做出抽象代数、代数拓扑的大部分习题，但是却做不出泛函分析、偏微分方程的基本题目），对这部分学生来说，他们的思维能力也需要不断提升，需要能够大体解出全部的课后难题，只有这样才能实现自身思维深度的跃进；否则，我们进行的只是在同一思维深度上的知识广度的简单积累。

（二十七）同时，我们需要指出八个基本事实：首先，许多理工科从业人员其实都意识到了不同人的理工科思维能力存在着较大差异这一个基本事实，因而，这并非崭新的洞察；有经验的理工科教师、学生、工作人员大多都知道不同个人之间的天赋存在着很大差异，只是他们并未意识到这些思维能力的差异可以克服，而且一定程度上也需要我们必须克服。其次，在重新学习本科课程的过程中，由于不同个体基础的差异，可能需要重复的遍数也不同，但都需要达到大体解出所有的课后题这一标准。第三，不同人的学习、工作方式有着较大差异，本文更加注重和强调知识的整体性质，但是很多人的工作风格并非如此（如戴森在《鸟和青蛙》一文中所揭示的，某些数学家倾心于一般性的思想整体架构，而另一些数学家则更为关注孤立的、具体的某些问题），因而，我们需要发挥自身的创造力，寻找适合自己的工作方式。第四，对于重新学习本科课程的过程而言，不同个人可能有不同的方式，我在这里采用的是重复几十遍课本的方式（以及观看视频、与同学讨论），对不同个体而言只需选择对自己较为适宜的方式即可；但是，最终的衡量标准是较为统一的，即需要解决大部分的课后习题。第五，本文着重强调了解题的重要性与指标意义，但是，学习的内涵要比单纯的解题丰富得多；以数学为例，理解知识中潜藏的思想实质恐怕是解题背后更为重要的基本环节，同时，解题的重要性也不宜过分高估，如伟大的数学家Atiyah所说：“我对于证明的重要性并不大注意，我认为更重要的是理解。”“证明的重要性在于它是对于你的理解的一个检验。我可以认为我懂了，但是证明是你懂与否的检验，仅此而已。它是行动的最后一步——最后的检验——但它根本不是主要的东西。”[6]Atiyah的这一看法自然是很合理的。第六，本文所处理的解题都是主动解题，即自己主动地解决这些问题，而不是看答案之后能够理解这些问题的思路；这种看答案解出问题是没有多少意义的，因为它缺少创造性思考和积极主动思考的过程，而且也不需要我们耗费这么多的精力；即我们必须主动地解出有关的题目，否则是没有实质意义的。第七，我们可能不需要严格地执行解出全部课后题的标准，但至少要能够大体解决全部的困难问题。第八，对于处于“普通”层次的学生来说，本科阶段课程的几乎所有内容其实都没有掌握下来，即大量的理工科学生本科毕业时其实对自己的学科懂得很少，这个事实确实令人比较震惊。

（二十八）对于重复55遍以上（需要花费3年以上的时间）而且需要做出一门课程的几乎全部难题这样困难的任务而言，可能有些出乎意料，但也符合一些人类社会的基本规律，如：理工科工作必须以精益求精为原则；任何有价值的东西都不可能轻易获得，都需要付出艰辛的努力[7]；勤奋工作是现代社会的根本基础；任何事情都需要打好基本功，必须从根本做起，循序渐进（由此原则出发，我们应该先从重复大一、大二的基础课程开始重复本科课程），脱离了基本功必然无法进行重要的创新（次要的创新还是有可能的）。整体来说，重新学习本科阶段所有与自身研究相关的课程的过程是一个不断挣扎的艰难过程，同时（有些相辅相成的是）也是一个愉快的过程。

（二十九）我们认为，本文所论述的问题对下述几类人士有较大的意义：1一些数学从业人员直到37、8岁仍然不能将积分第二中值定理熟练地写下来，这种基本功严重缺失的状况在电子工程（如数字模拟电路、电路原理、工程数学等基础课程）、化学（如有机化学等课程）、机械工程（如材料力学、机械原理等课程）、物理、统计、航空航天工程、计算机、化学工程等众多理工科专业的博士生、教职人员、从业人员中都是普遍存在的，应当引起我们的高度重视。2对于一些需要数学、物理知识的专业人员来说，如建筑领域（结构力学、弹性力学等），他们也应该意识到学习这些课程的过程的长期性。对上述几类个体来说，本文所论述的问题可能能够帮助他们打开宏大的知识视野。

同时，可能某些理工科从业人员并不需要进行原创性的活动，此时，在基础课程上打下坚实的基础，对他们而言仍然有着丰富的价值。因为，掌握本科时的基础知识、提升他们的思维能力可以使他们更好地面对自身的工作；如学好C语言中的指针、数组等内容，掌握高等代数中线性方程组的解法、求解矩阵Jordan标准型的方法等核心内容，学好微积分中的定积分、反常积分、多元微分学、函数项级数、重积分、Fourier级数等重要知识可以使他们更好地解决实际工作中的各种问题，毕竟这些知识影响到的范围是如此广泛。很多理工科从业者并没有真正掌握这些知识，因而，对他们的实际工作产生了一定的负面影响；而上文所提出的思想能够改善一些从业人员的处境。对我个人来说，在重复本科课程以前，我对C语言其实一直有些信心不足，但是到2016年8月份，我感觉自己对C语言的掌握已经较为到位，同时，我的思维能力也提升了，由于这两方面的基本变化，我面对C语言的信心有了大幅度的提升（这已经是本科入学的9年以后了）；考虑到C语言等课程应用的广泛，我们认为本文提出的思想是较有价值的。即如果我们只是浮泛地掌握10门课程，遇到实际工作中的具体问题往往是解决不了的，因而，不具备执行力；反而不如学精学透3、4门课程更有价值（当然，对于创新来说，只是学好3、4门课程也是很不够的）。

总之，本文所阐明的思想有着研究和学习的双重意义。

显然，本文对数学、物理等理科领域是非常适用的；而对于工科领域，如果联系实际的工业界，我们认为这篇论文亦有着丰富的价值；首先，它对三星、思科、IBM等电子工程领域的众多企业中的很多从业者都有着直接的意义，当然也包括这一领域中的很多中小企业的从业人员。对主要业务为大数据分析、人工智能等统计领域的大量企业的从业人员本文也很适用，原因在于，我们认为，一个在数学分析和高等代数等课程上有着深厚功底的从业者与一个只是掌握了R软件的工作者之间存在着深刻的差异；举例来说，2017年夏天，我曾在一家大数据分析的公司短暂工作过，此时我充分感受到了在微积分、线性代数方面我的深厚功底（源于花费了很长时间的很多遍重复）所带来的巨大效益，因为我学习一些新的知识、技术时感觉分外轻松，很容易即能将它们很好地掌握。同时，它对医疗器械（如飞利浦、西门子、强生、百特等企业）、大型机械等机械工程领域的从业者也是适用的。本文对土木工程等其他领域的潜在影响亦较为类似。总之，本文所处理的基本问题对理科和工科两个领域都具有较高的潜在价值。

（三十）下面，我想继续分析一下本文可能产生的实际影响，以及可能引发的复杂反应：

对数学、物理系的很多学生来说，如果天赋普通，想通过系统地重复本科基础课程的方式重新打好基础并作出第一流的贡献，难度自然是非常大的，毕竟理工科的黄金年龄是45岁之前。我们在前文所举的Carleson是一个成功的例子，Hardy是另外一个成例，他说过（而且，也是一个客观事实）他的职业生涯是从34岁遇到Littlewood的时候才真正开始的；但即使有以往的少数一些实例，对这类学生而言，想作出最杰出的贡献，难度无疑仍然非常大。因而，本文对这类学生只是有着一定的适用性。但是，本文对数学、物理系的另一类工作者也会有相当价值，即在普林斯顿、哈佛等顶级大学的部分优秀教授中，他们的知识结构存在着一定的内在缺陷，可能分析做的非常好，但遇到代数、拓扑的问题却很害怕，都不敢碰，或者代数做的非常好，但是遇到分析学的问题通通都不敢碰（丘成桐先生曾提及此一现象）；这样做研究未必不好，但肯定有一定的局限性在其中；对这部分工作者来说，本文所提供的分析框架和深度经验可能会具有一定的价值。

对电子工程、统计、航空航天工程等工科专业的从业者来说，他们的研究、工作可能不需要过高的天才，所学的课程也不是太高深广博，由于其中的部分任务是按部就班式的，他们只要打好基本功就能更好地胜任自己的工作。同时，这些工科专业的从业人员的数量比数学、物理专业大得多，因而，他们中基本功不扎实的从业人员也不在少数，对这些人来说，他们需要有整体的计划，不能只是考虑2、3个月左右的短期目标。考虑到工科从业人员的巨大数量，对工科各专业的影响可能是本文的主要影响。

对本文的反应可能会是：（1）对部分基本功很差的学生而言，他们在所有的基础课程都学得很浮泛，他们以前可能并没有意识到这一点（也可能意识到了），但在本文的广泛分析下很快明白了这一基本事实，即对自己基本功薄弱的情况有着客观的认识；考虑到大部分理工科工作者对自己的功底都有比较清醒的认识，因而，他们对自己会不会做题也都有着比较清醒的判断；由于明白到了这一点，他们可能会重新系统地学习几门课程，为自己的工作打下一定的基础；同时，他们也可能选择继续浮泛学习的方式，继续发一些普通的论文，这也是无可厚非的。（但也会存在小部分学生对自己的知识功底和真实能力存在混乱、错误的认识；当然到35岁左右人群中会形成对某个工作者能力的较为客观的判断，因为很多内行加在一起的判断会较为客观）（2）对基本功非常扎实的好学生而言，他们对本文所描述的现象没有任何体验，他们只需要学好研究生的课程，然后直接开始独立研究、工作就可以了。但是，本文所阐述的另一个基本问题，即思想层面和艺术层面的思考对他们的长远、深层次发展则具有极端重要性（我们在另一篇论文中做了一定的分析）。需要说明的是，由于理工科专业非常多，而各专业的学生的基本功底、职业追求这两方面的状况又非常复杂，因而，本文所讨论的问题在不同个体中会产生不同的反应[8]。

我们想说的是，理工科从业者需要对自身的工作保持长远的眼光。如电子工程专业的从业者，如果他们不停地浮泛学习（囫囵吞枣式地阅读前沿书籍、论文与文献，笼统地学习新的技术、软件等），缺少几门必要的基础课程，这样的功底在实际工作中是很成问题的。一位从业者如果花3年的时间进行所谓的前沿研究或者工作，这样3年下来，自己的基本功底并不会发生太大变化，自己也不会有太多实质性的整体进步；反而不如花3年的时间学好几门基础课程，真正提高自身的能力；毕竟3年的时间说长也长，说短也短，花3年的时间真正学好几门课程会使自己在工作中有足够的底气。

专业实力和技术功底在理工科从业者的工作中显然是一个中心问题，通观本文的复杂分析，我们能够得到一个令人振奋的基本结论：理工科从业者的专业功底是可以改变的，自己的专业实力也是可以改变的，只是需要从基础课程做起，做好长远的计划。申请进入名校、求职进入好的企业都不会改变自身的实力，因为实力只能来源于长时间（3年以上）系统的积累，并不会因为这些外在变化而产生变化；理工科的专业知识太广博、细致，需要很长时间的积累，怎么可能会因为进入顶尖企业就忽然被我们掌握了呢？我们认为，对理工科各专业来说，系统地学好基础课程可能是改变自身专业实力的唯一方法，浮泛地进行研究和工作只能让自己原地踏步，想通过零敲碎打的学习方式来加强自身的技术功底几乎是不可能的，急功近利、在文献夹缝里玩小聪明的工作方法很难带给我们深厚、根本性的进步；而时间（比如2年、3年或者5年）在繁忙的工作、学习、生活与研究中又会比较迅速地流逝。与此同时，考虑到工作任务的繁重，生活的事务繁忙以及重复本科课程需要耗费3年以上的大量时间，这确实会是一个比较棘手的问题，需要一定的智慧来解决它。

总结而言，我们认为本文对一些理工科专业的从业者会产生一定程度的影响，但也是有限度的。同时，随着时间的流逝，本文的影响可能会逐渐深化一些。

（三十一）需要说明的是，本文所区分的理工科学生天赋的普通和很好两个层次，只是一个粗略的近似描述，实际情况要复杂得多，存在着各种程度不一的状态。分析不同学生的天赋差异只是本文的基本要素之一，它自然不是本文的主要目的，我们的主要目的是想展示学习一些理工科课程的长期而复杂的过程。

（三十二）最后，我们必须建立的一个基本认识是：在本科课程上打下坚实的基础绝不是最终目的，最终目的是为了在自己的领域能够做出实质性的创新；因而，对于已经彻底掌握的一部分知识，我们不应在它上面继续耗费太多的时间，而是需要思考创造性发展的可能方向。在学术领域，我们会看到一些基本功相当扎实的学生并不能做出原创性的贡献，这是因为他们对研究缺乏系统认识，缺少自己对一些问题的独立思考，不会寻找崭新的研究领域与问题，这样缺乏创造性的行为需要我们尽力避免。因而，在重复本科课程的过程中，我们也必须思考寻找崭新的研究方向、对比各门课程之间的联系、理解思想体系、培养浓厚的直觉、创造未知的工具、发展已有的技巧、提炼潜在的概念、捕捉闪现的灵感等很多其他方面的重要问题；我们既需要创造性地理解本科知识，也需要具备独立研究的眼光、前沿意识；没有这种对学术首创精神的丰富理解和广博储备，我们也难以在独立研究中做出重要的贡献。研究的本质在于发现新知识，而不只是学习已有的知识；研究需要向前看，思考新的方向，在已知的知识上不宜停留过久。总之，回归基础是为了更好地面向未来，如果不能面向未来，回归基础也就失去了它的大部分意义。

在这里，贝弗里奇的一段论述对我们的讨论是很有益的，他写道：“尼科尔区别两种人，一种是具有发明才能的人物，他们不能贮存知识，也无需是一般意义上的聪明绝顶人；另一种是有着聪明资质的科学家，他们进行归类、推理和演绎，但根据尼科尔的说法，他们没有独创精神或不能作出创见性的发现。第一类人运用直觉，他们诉诸逻辑和推理仅是为了证明自己的发现。第二类人循序渐进地发展知识，恰如泥瓦匠垒砌砖墙，直至最后大厦竣工。尼科尔说，巴斯德和梅契尼科夫有很强的直觉，有时他们几乎在作出实验结果之前就发表了著作。他们做实验主要是为了回答批评者。”[9]这段话是启人深思的，某些基本功扎实的研究者并不能作出原创性的发现，这是我们所熟知的事实（原因之一大概在于他们缺少思想层面的积累），因而，我们应对原创精神给予高度的注意；为了使人类各个理工科领域保持青春焕发的状态，创新精神和原创能力具有压倒一切的重要性。当然，创新需要坚实的知识和思想基础，贝弗里奇的这段话只是提醒我们：原创性、做出新发明、发现新现象、创造新技术在理工科各领域都是最为重要、最决定性的衡量标准。或许怀特海的一句话对创新的根本价值做了最好的概括：“被动地认识过去就会丧失过去所蕴含的整个价值。活的文明需要学习，但却不仅仅是学习。”[10]

（三十三）相应地，本文所提出的基本思想并不针对天赋处于“很好”层次的少部分学生，因为他们在本科四年的过程中已经将本科基础知识掌握的非常坚实，无需再次重复；对于这些学生来说，他们不需要重新学习本科课程，他们需要做的是学好研究生的课程，然后立即开始独立性的研究工作。即使对基本功不够好的部分理工科从业者而言，在实际的工作、研究过程中，他们毕竟也不太可能像我这样拿出3年7个月的时间只是用来重复大一、大二的课程；因而，我们仍然需要以自己的工作、前沿研究为主，只是需要同时兼顾一下基础课程。

概言之，本文的四个中心思想主题是系统地重复本科课程、problem

solving（当然，如上文所指出的，本文所强调的解决问题必须是主动地解决问题，而不是看答案解决问题）、思维能力的整体提高和独立思考；虽然我们主要以数学学科的高等教育为讨论对象，但是，我们认为同样的学习规律也适用于物理、化学、机械工程、电子工程、计算机、统计、航空航天工程、石油工程、土木工程、化学工程和通信工程等众多的理工科专业。

我们的整体信念是：几乎所有做出真正贡献的理工科从业人员都具有坚实的基本功（例如，我们探索微分几何这个领域时，如果我们的基本功不坚实，即便我们能模糊地猜测出Gauss-Bonnet公式的存在，我们也必然无法完成这个复杂的证明；抑或探索量子力学这个领域时，即便我们能猜出Dirac方程的大体方向，我们也无法详细地得到这个方程的整体性质；或许更直观的一个论据是，在独立研究阶段做出好的结果的科学工作者，在本科阶段也基本都是好学生；总之，坚实的基本功对于理工科从业人员具有基本的重要性，这是一个较为明显的事实），任何做出真正重要贡献的理工科从业人员都具有极强的独立思考能力（在学习的过程中，独立思考可使具体的信息量丰富一倍，因而，理工科学习的过程是一个积极主动的过程）。本文的所有结论都建立在这两个显著的基本事实之上。

总之，理工科本科教育领域一个潜藏了一百多年的秘密被揭开了。（当然这个秘密所以一直未被发现，是因为它看似简单，其实不然；它是五点基本洞察的融合：1思维能力的差异，很多人只是意识到理工科学生身上存在思维能力的差距这一问题，然而，他们并没有意识到思维能力从“普通”层次上升到“很好”层次需要付出艰巨的努力。2重复本科课程，这一点也有可能被某些人认识到，但是，他们重复的遍数不够，没有重复55遍以上，没有坚持全部课后问题都需要被解决这一基本原则，因而，在重复了若干遍之后，误以为自己已经掌握了这些课程，其实距离这一目标尚有较大距离；另外，一部分学生尽管做到了重新学习某些本科课程，但他们没有意识到应当重复本科时与自身研究相关的本专业的所有基础课程。3重新学习本科课程的一大目的在于能力的提升；我们学习的过程是一个思维能力在不断提高的过程，这一点通过我们大四时候与大一时候的对比即能明显地感受到；只是几乎没有人意识到：为了从根本上解决我们的整体能力的提升这一重大问题，我们必须回到本科课程。在基础课程重复了55遍以上以后，我们的专业思维能力会大大增强，此时面对具体的知识、具体的问题会感觉分外轻松，即重复课程的过程中知识的掌握与能力的提升是交织在一起的，这的确是一种愉快的体验。4在学习的过程中，知识的积累固然是一方面，对特定知识的思想性、艺术性层面的认识也是必不可少的另一方面，即我们需要以自己的方式去积极掌握相关知识，独立思考的方式能够使我们的信息量扩充一倍；总之，面对基础知识，我们不仅需要长时间的积累，而且需要创造性的积累。5就时间维度而言，重复本科课程恐怕需要较长的时间，即便我们不从事研究工作，不阅读任何前沿文献，只是从事重新学习本科课程的任务，自本科毕业起，我们重复本科课程也至少需要花费4、5年左右的时间。上述五点可能会被人分别、孤立地洞察到，但是，只有将上述五点融合起来才能完成对本科理工科教育的整体洞察）

                                                           2018年9月29日

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[1]可参看约翰·杜威的论述：“习惯有两种形式，一是习以为常的形式，就是有机体的活动和环境取得全面的、持久的平衡；另一种形式是主动地调整自己的活动，借以应付新的情况的能力。前一种习惯提供生长的背景；后一种习惯构成继续不断的生长。主动的习惯包括思维、发明和使自己的能力应用于新的目标的首创精神。这种主动的习惯，和以阻碍生长为标志的墨守成规相反。因为生长是生活的特征，所以教育就是生长；在它自身以外，没有别的目的。”本段的旨趣与杜威在此处的阐述是较为相近的。见《民主主义与教育》第三节“教育即生长”，收入《杜威教育论著选》，页158，华东师范大学出版社，1981年。

[2] 如偏微分方程领域的领袖级数学家Hormander曾指出：专业不要分得过细、过早，学习偏微分方程的青年人应该在代数、拓扑等方面都要有一个坚实的基础，不然是不会有太大发展的。这一观点见《当代数学大师》关于Hormander的介绍，页114，北京航空航天大学出版社，2005年。

[3] 关于此点，著名数学家Serre在1986年的一次采访中说道：“在你对某个特殊问题感兴趣时，你会发现只有很少已有的工作与你相关。若有些东西确实有关，你会学得非常快，因为你心中有一应用的目标。”“对某个给定的问题，你通常并不需要知道很多。”见< An Interview with Jean-Pierre Serre>,Mathematical Intelligencer, 8(4),1986,8-13。但是，我们需要注意的是，Serre的建议恐怕只对思维能力强、本科基础课程都学得很好的好学生才适用，因为他们知识功底很坚实，同时又具备足够的思想深度；而天赋“普通”的学生应采取不同的工作、研究路线（对在全部学生中占大多数的这类学生而言，关于他们的研究方式，本文可能提供了部分答案）。

[4]可参看怀特海的一段论述：“你可以肯定，不管什么时候，只要有人写出一本具有真正教育价值的教科书，就会有某位评论家说这本教材很难用。这种教材当然不容易教。倘若容易，就应该将它付之一炬，因为它不可能有教育的价值。”见《教育的目的》里的同名论文，页8。

[5]如大数学家陈省身所说：“譬如读诗看画，有些伟大的作品，令人百读百看不厌……数学工作亦是如此”，见《陈省身文集》，第一部分，文14，页57，华东师范大学出版社，2002年。事实上，在科学研究里，为了能对相关问题的理解足够“deep”和足够精细，很多很好的学者都会把自己领域的一些经典著作、论文等反复看很多遍，当然，考虑到实际情况的复杂性，也有一些学者不会这样做（例如，数学家格罗滕迪克就很少读已有的书和论文），但反复看不少著作、论文等很多遍大概确是一种较为常见和普遍的研究方式。如我们所熟知，很多很好的科学家在学习一些新课程、新知识等时都比较慢，如爱因斯坦、希尔伯特、佩雷尔曼、博特等，因为他们都想使自己的理解能很深刻，而不只是贪图尽快地学到许多新东西（如希尔伯特即认为，要想真正搞懂一些数学知识，一个人至少需要重复5遍）。总之，看理工科的书与读文科书不同，由于理工科知识比较复杂、困难，为了学得精，学得细，我们需要重复看不少遍，否则就容易学得粗浅浮泛，我想这是不难明白的。

[6] Atiyah的此一观点见<An Interview with Michael Atiyah>, The Mathematical Intelligencer, 1984, 6(1):17。Atiyah曾反复解说过这一观念，在一篇名为<Advice to a Young Mathematician>的文章中，他写道:“I believe the search for an explanation, for understanding, is what we should really be aiming for. Proof is simply part of that process, and sometimes its consequence.”

[7]著名物理学家费曼曾写道：“你知道，我有这方面的经验和优势；我知道真正懂得一个事物是多么难，你不得不怎样细心地检查你的实验，多么容易犯错误，多么容易自欺。我了解什么叫‘懂得某事’，……他们没有必要的谨慎。”即使像费曼这样聪慧绝伦的人都有这种感受，因而，我的这一番曲折的经验大概也是较为正常的基本现象。见《发现的乐趣》中的同名文章，页22，湖南科学技术出版社，2005年。

[8] 本文可以解释在理工科界存在的一个普遍现象，即似懂非懂与真正理解之间的巨大差异；如怀特海教授所描述道的：“在半个世纪中，在大西洋两岸，我曾多次聘任教师。如何区分大声喧哗和精力充沛，如何区分滔滔不绝和戛戛独造，如何区分智力不稳和才华冠世，如何区分偌大书本和真才实学——再没有什么比这更困难了。”（见《怀特海文录》收录的文章《哈佛大学走向未来》，页160，浙江文艺出版社，1999年）从本文的复杂分析中，我们能够体会到两个基本事实：第一，对一门或几门课程的理解来说，在似懂非懂与真正掌握之间确实存在着巨大的差别；第二，对于大部分天赋普通的理工科学生来说，想真正掌握几门基础课程需要经历一个较为漫长而艰辛的过程。

[9]见《科学研究的艺术》，第十一章，页152、153，科学出版社，1979年。

[10]见《观念的冒险》，第十九章，第三节，页329，贵州人民出版社，2000年。