如果有人问你，计算机和计算器的区别是什么，要怎么回答？
最简单的回答就是：
计算机相当于巴贝奇发明的分析机。
计算器相当于巴贝奇发明的差分机。

不过今天可不是要说这个问题，抛出这个问题这是为了引出今天的主题，计算机大致是怎么运算的，对分析机和差分机有兴趣的话可以自己查阅，这个值得你花些时间，因为在计算机领域，不能只知道图灵，而不知道巴贝奇。

那么，就根据上一篇的理论部分《JS基础-数字-0.1+0.2!=0.3（一）》
，结合实物，来做一个最简单的加法器。

这是一个最简单的电路，我相信没有人看不懂，那我就不多说了。

继电器

这个装置是一个简单的继电器，原理非常简单：
符号V电压在此代表通电的线路。
当输入通电后，电磁铁就会带磁性，把带弹性的金属条吸下来连接B，使V与B连通，输出就带电了。
当输入断电后，电磁铁失去磁性，带弹性的金属条回到了A，输出就没有电流了。

现在把两者结合起来，就出现了以下装置：

这玩意有什么用？可以用来制作一些逻辑原件。

1. 与门电路（AND）

与门

这个装置叫做“与门电路”（AND），就是左边两个输入都有电流时，右边才有输出，灯泡才能亮。

js中的逻辑操作符 && 就是按照“与门”原理来的，&& 操作就是两个操作值都为true，结果才为真，只要有一个为false，结果就为false。

2. 或门电路（OR）

或门

这个装置叫做“或门”（OR），就是左边两个输入只要一个有电流（或者都有电流），右边就有输出，灯泡就能亮。

js中的逻辑操作符 || 就是按照“或门”原理来的，|| 操作就是两个操作值只要有一个为ture（或者同时为true），结果就为真。

3. 与非门电路（NAND）

与非门

这个装置叫做“ 与非门”（NAND），NAND 就是 NOT AND 的意思（AND 的 取反），左边必须都输入电流时灯泡才不亮，其余情况灯泡都亮。

这个装置相当于js中,使用 && 操作完之后再取反, !( A && B)

4. 或非门电路（NOR）

或非门

这个装置叫做“ 或非门”（NOR），NOR 就是 NOT OR 的意思（OR 的 取反），左边当两个输入只有当都没有电流时，灯泡才亮，其余情况灯泡不亮。

这个装置相当于js中,使用 || 操作完之后再取反, !( A || B)

注：本章并不涉及或非门电路（NOR）的使用，但是为了体现完整性，需要介绍，特此说明。

了解之后，需要简化一下这些电路，因为在图上作业时，画起来很不方便。

逻辑门简化图集合

尝试用逻辑电路做2进制加法

现在要计算 15 + 15 = 30，这个很容易，那么2进制加法该怎么做？
首先肯定要把 15 转化成2进制 为 1111(2)，然后套用10进制的竖式加法方式来计算，如下

这种计算的特点是：同位相加，并且从低位开始，求出当前位的结果(和)，和进位的值。
进位的情况只有一种：
同位都为1时，进位1。其他情况都进位0；
结果(和)的情况稍微复杂一点：
同位都为1时， 结果(和) 0；
同位都为0时， 结果(和) 0；
同位只有一个1时，结果(和)1；

把有电流代表1，没有电流代表0，对于进位操作，一个与门电路就可以搞定。

但是，同位相加的结果(和)并没有哪一个单一逻辑电路能够实现，需要重新组装一个逻辑电路才可以。

5. 异或门电路（XOR）

异或门

异或门电路由三个基础逻辑电路组成（或门，与非门，与门），这个需要好好捋顺下思路，从头到尾把 00， 01，10，11四种电流输入的情况走一遍，一点也不难。

异或门电路所有情况的输出流程

这样的输出结果就和想要的2进制加法同位相加结果一致了。

6. 半加器

由此，可以组装出2进制加法中，一个位的结果(和)和进位的装置，称之为“半加器”。

半加器

为什么叫“半加器”？因为他还只是一个半成品，先求个和来验证一下，还是拿 15 + 15 举例吧

半加器无法完成计算

现在需要一个输入端有三个入口的装置，两个同位的值入口 + 进位值入口，不用担心，有办法解决。

7. 全加器

全加器.png

这一块稍微有点绕，还是从头一步一步来，
1、第一个半加器没啥好解释的，他会输出同位的结果值（和）和进位值。
2、假设上一位有进位输入1，那么这个1，一定是与当前位的结果值（和）在第二个半加器处相加，不能和当前为的进位值相加，对吧，这是必须的，因为手写竖式的逻辑就是这样的。
3、第二个半加器的结果值（和）就是最终的结果值（和）了。
4、这一步最重要，两个半加器的进位输出居然用一个或门连接，为什么？你可以认真的思考一下，第一个半加器和第二个半加器的进位输出，会同时为1吗？这是不可能发生的事！！

8. 加法器

如果要计算1111(2) + 1111(2),就可以使用4个全加器（FA）连接来完成运算，设，上排4个加数从左到右依次为 A3、A2、A1、A0，下排4个加数从左到右依次为 B3、B2、B1、B0，那么如下图依次输入全加器，就可以得到结果值。

4位加法器

那么这就组成了一个4位的加法器，计算机都是8位为一个基本单元的，所以也可以组装成标准的8位加法器。

8位加法器

上图中A输入为一个8位2进制加数，B输入也是一个8位2进制加数，只不过排布不一样，原理和最开始的4位加法器一致，它可以用作两个8位2进制加数的求和。

如果需要位数更大的加法器，以便一次性计算更大的加数，比如16位加法器，可以向如下这样把两个8位加法器相连。

16位加法器

到这，是不是可以联想到32位，64位，甚至更多位的加法器如何拼装了呢？
当然，现代计算机已经不使用继电器了，从继电器，到电子管，再到晶体管，不过无论是什么材料器件，他们的计算原理都是这样的。

9. 定点机

当然，在此展示的只是整数的加法运算，但小数的加法运算也依然如此，如果计算：
0.101(2) + 0.001(2)，只需要计算101 + 001 即可，把计算小数的加法器叫做小数定点机，之所以叫定点机，是因为0.是不考虑的，直接默认在定点机的最前面

例如使用8位小数定点机计算0.101(2) + 0.001(2)，那么两个数要分别转换成
1010 0000 和 0010 0000，然后再参与运算，如果进位了，可以将进位的1输出到其他寄存器中，或者直接舍弃，根据具体需要而定。

而前文展示的其实就是整数定点机的运算，整数定点机默认小数点在最右边，和小数定点机刚好相反。

注意：整数定点机和小数定点机只是叫法上方便区分，实际上逻辑电路配置是一样的。这一点你应该想到。

10. 浮点数运算

而对于既有整数又有小数的原始数据（称之为浮点数），如果使用定点机进行运算，需要设定一个比例因子，数据按比例因子缩小成定点小数或扩大成定点整数再参加运算，结果输出时再按比例折算成实际值。

比例因子必须选择恰当。选择不当，将会影响运算精度，或者会使运算结果超出机器所能表示的数据范围，即出现溢出。

例如：
在定点小数机器中计算 11.01＋10.01 选择比例因子＝0.01，可将两操作数变换为 0.1101＋0.1001 但 0.1101＋0.1001＝1.0110，运算结果不是纯小数，出现了机器数不能表示的数，即出现了正溢出。 如果选择比例因子 ＝0.001，可将两操作数变换为 0.01101＋0.01001 则运算结果 0.01101＋0.01001＝0.10110 为正常结果。将0.10110除以比例因子，可得到正确结果 101.10。

这种计算浮点数的方式效率极其低下，现代计算机早已使用浮点运算器来处理浮点数运算，且JS所有数字都是使用浮点数运算器来进行运算的（当然也就包含0.1 + 0.2的运算）。浮点运算器的逻辑配置极其复杂，有自己独立的运算硬件，本人知识储备有限，就不展开说明了，但是肯定是建立在前面所说的基本逻辑之上的。未来可能会写浮点运算器硬件相关内容。

*11. 如何计算减法

这一部分说明补码由来相关，因为在第四章会涉及到补码概念，所以和0.1 + 0.2 的主题有一定关系。但这不是必须的，完全可以跳过。

前面配置的逻辑电路是针对于加法的，但是减法的逻辑电路如何实现呢。
补数
如果要确定两个数是不是互为补数，需要有一个参照，或者说需要一个标量，比如：
4 和 3 互为补数，是相对于标量7来说的，一般称作“4的7的补数为3” 或者 “3的7的补数为4”，因为 4 + 3 = 7。如果标量是 8， 4 和 3 就不是互为补数。
同理:

2的10的补数为8，
2的100的补数为98。
21的1000的补数为979。

7的9的补数为2。
7的99的补数为92。

注意，补数没有正负的概念。

补数有啥用？

口算：
997 + 973 = ？
(1000 - 3) + 973 = 1970
这个是在口算数学加法的时候用的方法，在计算机中利用补数能干啥呢，做减法。

145 - 98 = ？
在这个减法中，一定要用到借位，如果要使用逻辑电路计算的话，要先判断同位数值的大小，小的话就要加上一个值，上一位呢就要减去一个值，非常复杂，如果不需要借位做减法就好了对吧，那么就可以用到补数概念。

= 145 - （999 - 901）
= 145 + 901 - 999
= 1045 + 901 + ( 1 - 1000)
= 1047 - 1000
= 47

估计你已经绕晕了，磨磨唧唧的这么算到底有啥好处？目的只有一个，就是不用借位算减法，901就是 98 的 999 的补数。为啥选择999呢？因为10进制中，没有单个数字比9更大了，又因为 145 为 3位，所以选择 999。这样做减法，一定不会借位。

转化成2进制计算呢？

在这里，原来的补数标量 999 要换成 11111111，因为2进制中，单个数字没有比1更大的了，又因为 145 转化成 2进制为 8位，所以要用 11111111。
98转化成2进制为 01100010。
01100010 的 11111111 的补数，就是用 11111111 - 01100010，到这里先停一下，仔细看这个2进制减法。

这个减法实际上就是把 01100010 各位取反了，这就是2进制的神奇所在，也是2进制减法的精髓所在，因为做一个取反的电子原件实在太容易了。

反向器

这个玩意叫做“反向器”，它不算是逻辑电路，但是同样重要，可以用它来做取反的操作。

类似于js中的一元操作符 !

8位反向器

= 1001 0001 - ( 1111 1111 - 1001 1101)
= 1001 0001 + 1001 1101 - 1111 1111
= 1001 0001 + 1001 1101 + ( 1 - 1 0000 0000)

为什么把 - 1111 1111 分解成 1 - 1 0000 0000 ？
按照上述方法计算减法时，如果 被减数 比 减数 数值大，结果一定是1 xxxx xxxx（x表示1或者0的值）的9位2进制数，不信你可以验证一下o(￣︶￣)o。
1 xxxx xxxx - 1 0000 0000 = xxxx xxxx。
这样，计算结果的进位输出1，忽略不计就行了。

因此，现在这个计算方法，只能计算被减数 比 减数 大的情况，这点要注意。

在这又得停一下，因为可以使用加法器来完成后续操作了。

你可以验证一下和输出的 0010 1111 是不是 47。CO输出的进位1可以和要减去的 1 0000 0000抵消掉。如果 减数 比 被减数数值大，CO输出就是0，此时的计算结果错误，就需要特殊处理了。

如何优化

初始时的进位输入1其实大可不必，可以把他直接合并到补数10011101中：

1001 0001 + （1001 1101 + 1） - 1 0000 0000
得1001 1110，这样进位输出就节省出来了，在输入数值时直接输入1001 1110即可。

原码 和 补码

计算机的真实计算情况与所展示流程还是有点区别，先来看下什么是原码。

原码：计算机中只能识别0和1，不过也巧了，数字也只有正负2种，没有第三种，刚好合适，那么正负数也就能用0和1来区分。科学家们规定，0代表正数，1代表负数，放在数值的最高位上，也就是最左边。

拿8位为例，拿出一个位来表示正负，就还剩7位来表示数值，7位能表示 2⁷ = 128 种状态，从0开始就是0 ~ 127，所以8位能代表的数值为 -127 ~ ±0 ~ 127，如下图所示。

8位原码

原码不能直接参与运算，因为 1111 1110 + 0000 0001 = 1111 1111 ，-126 + 1居然等于-127，这明显不对啊，所以原码一般用于输入输出数据时使用，因为人眼可以很容易区分数值，但是计算机不能运算。那么运算使用什么编码？

补码：计算机运算使用补码，补码的规则是在原码的基础上变形而来：

①如果值为正数，那么补码就是原码本身。

127转化成补码

②如果值为负数，那么补码就是其值绝对值的原码各位取反，然后 + 1。

-127转化成补码

补码和原码对比一下：

补码和原码对比示意图

相同点：补码和原码都是使用 0代表正数，1代表负数

不同点：原码存在±0，而补码只有一种0，就是机器0（所有位数都为0称为机器0），原码中的-0在补码中表示一个绝对值最大的负数。

补码最大的优点就是：无论加法和减法，都统一按照加法来计算，但是注意，
补码与补码相加，结果依然是补码。

找几个例子试一下：
+127 + (-128)
= 0111 1111 + 1000 0000
= 1111 1111
结果1111 1111就是一个补码，但是我们还是习惯于看原码。
补码转换成原码和原码转化成补码规则差不多：

①如果符号位是0，那么这个补码就是原码，
②如果符号位是1，就符号位不变，各位取反，然后 + 1

1111 1111（补） => 1000 0000 + 1 => 1000 0001（原），最终结果为 -1。

疑惑

①两个负数相加，进位输出一定为1，那么这个进位1怎么办？
答：直接忽略不计，这也正是保证补码计算准确的关键。

②如果两个数相加大于127或者小于128了怎么办？
答：这种情况就是溢出，溢出也很好判断，两个正数相加，如果符号位变化了，就说明溢出了，两个例子：

127 + 127
= 0111 1111 + 0111 1111
= 1111 1110
正数相加，符号位变化了，就是向上溢出。

-128 - 128
= 1000 0000 + 1000 0000
= 0000 0000（超出8位的直接舍弃）
负数相加，符号位变化了，也是向上溢出。

8位范围内的两个补码相加，如果一个为正数，一个为负数，是不可能发生溢出的。想想是不是这么回事。加法没有向下溢出的情况。

在 145 - 98 = ？这个例子中，实际上对于 -98 的处理就是补码，只不过没有加入符号位的概念，计算机中并不是配置不出通过“借位”实现的减法器，而是没有必要有，这一点希望你能体会到，那么关于补码和原码的说明就到这吧，如果还有疑惑可以查阅相关资料，网上相关的资料还是很多的。

12. 总结：

本章所写内容无疑是“管中窥豹”，根本是让大家对计算机硬件运算了解一二，下一章将进入0.1 + 0.2 的最主要部分，IEEE754浮点数运算标准的说明。

对于乘法、除法如何计算，因为不涉及0.1 + 0.2运算，时间允许的话，在本系列最后会简要说明。