隐马尔可夫模型

隐马尔可夫模型(HMM)

设 $z=z_1,z_2,...,z_T$ 表示隐状态序列， $x=x_1,x_2,...,x_T$ 表示观测状态序列， $O=\{o_1,o_2,...,o_m\}$ 表示观测状态集， $S=\{s_1,s_2,\cdots,s_N\}$ 表示隐状态集合。定义 $A=[a_{ij}=p(z_{t+1}=s_j|z_t=s_i)]$ 表示隐状态转移概率矩阵， $B=(b_j(x_k)=p(x_t=o_k|z_t=s_j))$ 表示发射矩阵(观测状态生成概率矩阵)，隐状态初始化概率为 $\pi_i=p(z_1=s_i)$ ，以上的参数统一记为 $\theta$ 。

在 HMM 中，有两个基本假设：

齐次一阶Markov 假设（未来只依赖于当前）：
$p(z_{t+1}|z_t,z_{t-1},\cdots,z_1,x_t,x_{t-1},\cdots,x_1)=p(z_{t+1}|z_t)$
观测独立假设（当前结果只依赖于当前隐状态）：
$p(x_t|z_t,z_{t-1},\cdots,z_1,x_{t-1},\cdots,x_1)=p(x_t|z_t)$

HMM 要解决三个问题：

Evaluation： $p(x;\theta)$ ，Forward-Backward 算法
Learning： $\theta=\mathop{argmax}\limits_{\theta}p(x;\theta)$ ，EM 算法（Baum-Welch）
Decoding：，Viterbi 算法
1. 预测问题： $p(z_{t+1}|x_1,x_2,\cdots,x_t)$
2. 滤波问题： $p(z_t|x_1,x_2,\cdots,x_t)$

Evaluation问题

即要求某个观测序列出现的概率：
$p(x;\theta)=\sum\limits_{z}p(z,x;\theta)=\sum\limits_{z}p(x|z;\theta)p(z;\theta)$

后面均省略参数 $\theta$ 。

首先：
$p(z)=p(z_1,z_2,\cdots,z_t)=p(z_t|z_1,z_2,\cdots,z_{t-1})p(z_1,z_2,\cdots,z_{t-1})$

根据齐次 Markov 假设：
$p(z_t|z_1,z_2,\cdots,z_{t-1})=p(z_t|z_{t-1})=a_{z_{t-1},z_t}$
递推下去，所以：
$p(z)=p(z_1)\prod\limits_{t=2}^Tp(z_t|z_{t-1})=\pi_{z_1}\prod\limits_{t=2}^Ta_{z_{t-1},z_t}$
又由于：
$p(x|z)=\prod\limits_{t=1}^Tp(x_t|z_t)=\prod\limits_{t=1}^Tb_{z_t}(x_t)$
这个式子可由HMM的概率图得到（观测独立假设）。

于是由全概率公式，穷举隐状态做求和即可得到观测序列 $x$ 的联合分布：
$p(x)=\sum\limits_{z}(\pi_{1}\prod\limits_{t=2}^Ta_{z_{t-1},z_t}\prod\limits_{t=1}^Tb_{z_t}(x_t))\\=\sum_{z_1}\sum_{z_2}...\sum_{z_T}(\pi_{1}\prod\limits_{t=2}^Ta_{z_{t-1},z_t}\prod\limits_{t=1}^Tb_{z_t}(x_t))$
因每个隐状态都有 $N$ 种可能，于是如果直接穷举计算联合分布复杂度为 $O(TN^T)$ 。所以我们需要更高效的算法来计算观测序列的联合分布。

Forward Algorithm

记 $\alpha_t(i)=p(x_1,x_2,\cdots,x_t,z_t=s_i)$ ，其含义是到时刻 $t$ 隐状态为 $s_i$ 的条件下观测到序列 $x_1,...,x_t$ 的概率，所以， $\alpha_T(i)=p(x,z_T=s_i)$ 。于是遍历隐状态空间就得到了观测序列 $x_1,x_2,...,x_T$ 的概率：
$p(x)=\sum\limits_{i=1}^Np(x,z_T=s_i)=\sum\limits_{i=1}^N\alpha_T(i)$
对 $\alpha_{t+1}(j)$ ，分出一个 $z_t$ ，对其利用全概率公式，则：
$\begin{align}\alpha_{t+1}(j)&=p(x_1,x_2,\cdots,x_{t+1},z_{t+1}=s_j)\nonumber\\ &=\sum\limits_{i=1}^Np(x_1,x_2,\cdots,x_{t+1},z_{t+1}=s_j,z_t=s_i)\nonumber\\ &=\sum\limits_{i=1}^Np(x_{t+1}|x_1,x_2,\cdots,z_{t+1}=s_j,z_t=s_i)p(x_1,\cdots,x_t,z_t=s_i,z_{t+1}=s_j) \end{align}$
利用观测独立假设和齐次马尔科夫假设：
$\begin{align}\alpha_{t+1}(j)&=\sum\limits_{i=1}^Np(x_{t+1}|z_{t+1}=s_j)p(x_1,\cdots,x_t,z_t=s_i,z_{t+1}=s_j)\nonumber\\ &=\sum\limits_{i=1}^Np(x_{t+1}|z_{t+1}=x_j)p(z_{t+1}=s_j|x_1,\cdots,x_t,z_t=s_i)p(x_1,\cdots,x_t,z_t=s_i)\nonumber\\ &=\sum\limits_{i=1}^Nb_{j}(x_{t+1})a_{ij}\alpha_t(i) =(\sum\limits_{i=1}^N\alpha_t(i)a_{ij})\cdot b_{j}(x_{t+1}) \end{align}$
上式中 $\alpha_t(i)$ 表示时刻 $t$ 观测到状态 $x_i$ 的概率， $\alpha_t(i)a_{ij}$ 表示观测到 $x_1,...,x_t$ 后隐状态转移到 $s_j$ 的概率，由于时刻 $t$ 观测到 $x_t$ 可由 $N$ 种可能的隐状态得到，所以做求和，再乘 $b_j(x_{t+1})$ 表示 $t+1$ 时刻观测到 $x_{t+1}$ 的概率。

这样，由初始化概率，根据递推公式求得各个 $\alpha$ ，最后由 $p(x)=\sum\limits_{i=1}^N\alpha_T(i)$ ，就可以得到观测序列的联合概率分布了。时间复杂度为 $O(TN^2)$ 。

Forward Algorithm

（1）初始化： $t = 1$

$\alpha_1(i)=\pi_i\cdot b_i(x_1)$ , $1\leq i \leq N$

（2）递归计算： $t = 2, 3, ... , T - 1$

$\alpha_{t+1}(j)=(\sum\limits_{i=1}^N\alpha_t(i)a_{ij})\cdot b_{j}(x_{t+1})$ , $1\leq j \leq N$

（3）终止：

$p(x) =\sum_{i=1}^N\alpha_T(i)$

初始态到 $t+1$ 时状态 = (初始态到 $t$ 时状态) $\cdot$ ( $t$ 状态转移到 $t+1$ 状态)

Backward Algorithm

Forward算法是从前往后的，当然也可以从后往前计算，定义 $\beta_t(i)=p(x_{t+1},x_{t},\cdots，x_T|z_t=s_i)$ ，可以这样来理解，上式表示已知第 $t$ 次的隐状态为 $z_t$ ，从 $t+1$ 时刻到 $T$ 时刻观测到序列 $x_{t+1},...,x_T$ 的概率。于是观测序列联合分布可表示为：

$\begin{align}p(x)&=p(x_1,\cdots,x_T)\\ &=\sum\limits_{i=1}^Np(x_1,x_2,\cdots,x_T,z_1=s_i)\\ &=\sum\limits_{i=1}^N\pi_i\cdot p(x_1,x_2,\cdots,x_T|z_1=s_i)\\ &=\sum\limits_{i=1}^N\pi_i\cdot p(x_1|x_2,\cdots,x_T,z_1=s_i)\cdot p(x_2,\cdots,x_T|z_1=s_i)\\ &=\sum\limits_{i=1}^N\pi_i\cdot b_i(x_1)\cdot \beta_1(i) \end{align}$
对于这个 $\beta_1(i)$ ，我们只需从后向前导出 $\beta_t(i)$ 的递推式即可：
$\begin{align}\beta_t(i)&=p(x_{t+1},\cdots,x_T|z_t=s_i)\nonumber\\ &=\sum\limits_{j=1}^Np(x_{t+1},x_{t+2},\cdots,x_T,z_{t+1}=s_j|z_t=s_i)\nonumber\\ &=\sum\limits_{j=1}^Np(x_{t+1},\cdots,x_T|z_{t+1}=s_j,z_t=s_i)\cdot \underbrace{p(z_{t+1}=s_j|z_t=s_i)}_{a_{ij}}\\ &=\sum\limits_{j=1}^Np(x_{t+1},\cdots,x_T|z_{t+1}=s_j)a_{ij}\\ &=\sum\limits_{j=1}^Np(x_{t+1}|x_{t+2},\cdots,x_T,z_{t+1}=s_j)\cdot\underbrace{p(x_{t+2},\cdots,x_T|z_{t+1}=s_j)}_{\beta_{t+1}(j)}\cdot a_{ij}\\ &=\sum\limits_{j=1}^Np(x_{t+1}|z_{t+1}=s_j)\cdot\beta_{t+1}(j)\cdot a_{ij}\\ &=\sum\limits_{j=1}^Nb_j(x_{t+1})\cdot\beta_{t+1}(j)\cdot a_{ij}\\ &=\sum\limits_{j=1}^Na_{ij}\cdot b_j(x_{t+1})\cdot\beta_{t+1}(j) \end{align}$
这样，让初始值 $t=T,\beta_T(i)=1$ ，因为最后一次的隐状态为 $s_i$ ，时刻 $T$ 之后我们不再关注，它转移到任意状态的概率和是归一的，所以 $\beta_T(i)=1$ 。利用上述递推公式，于是后向地得到了每一项，进而求得联合概率。

Backward Algorithm

（1）初始化： $t = T$

$\beta_T(i)=1$ , $1\leq i \leq N$

（2）递归计算： $t = T - 1,T-2,...,2,1$

$\beta_t(i)=\sum\limits_{j=1}^Na_{ij}\cdot b_j(x_{t+1})\cdot\beta_{t+1}(j)$ , $1\leq i \leq N$

（3）终止：

$p(x) =\sum\limits_{i=1}^N\pi_i\cdot b_i(x_1)\cdot \beta_1(i)$

$t$ 时状态到终态=( $t+1$ 时状态到终态) $\cdot$ ( $t$ 时状态转移到 $t+1$ 时状态)

Learning问题

为了学习得到参数的最优值，在 MLE 中：
$\theta_{MLE}=\mathop{argmax}_\theta p(x|\theta)$
我们采用 EM 算法（在这里也叫 Baum Welch 算法），用上标表示迭代：
$\theta^{t+1}=\mathop{argmax}_{\theta}\int_z\log p(x,z|\theta)p(z|x,\theta^t)dz$
其中， $x$ 是观测变量， $z$ 是隐变量序列。于是：
$\theta^{t+1}=\mathop{argmax}_\theta\sum\limits_z\log p(x,z|\theta)p(z|x,\theta^t)\\ =\mathop{argmax}_\theta\sum\limits_z\log p(x,z|\theta)p(x,z|\theta^t)$
这里利用了 $p(x|\theta^t)$ 和 $\theta$ 无关。将 Evaluation 中的式子代入：
$\sum\limits_z\log p(x,z|\theta)p(x,z|\theta^t)=\sum\limits_z[\log \pi_{i_1}+\sum\limits_{t=2}^T\log a_{i_{t-1},i_t}+\sum\limits_{t=1}^T\log b_{i_t}(x_t)]p(x,z|\theta^t)$
对 $\pi^{t+1}$ ：
$\begin{align}\pi^{t+1}&=\mathop{argmax}_\pi\sum\limits_z[\log \pi_{i_1}p(x,z|\theta^t)]\nonumber\\ &=\mathop{argmax}_\pi\sum\limits_z[\log \pi_{i_1}\cdot p(x,z_1,z_2,\cdots,z_T|\theta^t)] \end{align}$
上面的式子中，对 $z_2,z_2,\cdots,z_T$ 求和可以将这些参数消掉：
$\pi^{t+1}=\mathop{argmax}_\pi\sum\limits_{z_1}[\log \pi_{z_1}\cdot p(x,z_1|\theta^t)]$
上面的式子还有对 $\pi$ 的约束 $\sum\limits_i\pi_i=1$ 。 Lagrange 函数：
$L(\pi,\eta)=\sum\limits_{i=1}^N\log \pi_i\cdot p(x,z_1=s_i|\theta^t)+\eta(\sum\limits_{i=1}^N\pi_i-1)$
于是：
$\frac{\partial L}{\partial\pi_i}=\frac{1}{\pi_i}p(x,z_1=s_i|\theta^t)+\eta=0$
对上式求和：
$\sum\limits_{i=1}^Np(x,z_1=s_i|\theta^t)+\pi_i\eta=0\Rightarrow\eta=-p(x|\theta^t)$
所以：
$\pi_i^{t+1}=\frac{p(x,z_1=s_i|\theta^t)}{p(x|\theta^t)}$

Decoding问题

Decoding 问题表述为：
$z=\mathop{argmax}\limits_{z}p(z|x,\theta)$
即找到一个隐状态序列，其概率最大，这个序列其实就是要在参数空间中找一个路径，可以采用动态规划的思想。

定义：
$\delta_{t}(j)=\max\limits_{i_1,\cdots,i_{t-1}}p(x_1,\cdots,x_t,z_1,\cdots,z_{t-1},z_t=s_i)$
于是：
$\delta_{t+1}(j)=\max\limits_{1\le i\le N}\delta_t(i)a_{ij}b_j(x_{t+1})$
这个式子就是从上一步到下一步的概率再求最大值。记这个路径为：
$\psi_{t+1}(j)=\mathop{argmax}\limits_{1\le i\le N}\delta_t(i)a_{ij}$

动态规划求解即可。

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