数学分析理论基础17：参变量函数的导数

参变量函数的导数

参变量函数

平面曲线C参变量(参量)方程 $\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}(\alpha\le t\le \beta)$ ,设 $t=t_0$ 对应曲线C上点P, $\varphi,\psi$ 在点 $t_0$ 可导,且 $x'(t_0)\neq 0$ ,则曲线C在点P的切线斜率为 $tan\alpha=\lim\limits_{\Delta t\to 0}{\Delta y\over \Delta x}={\lim\limits_{\Delta t\to 0}{\psi(t_0+\Delta t)-\psi(t_0)\over \Delta t}\over \lim\limits_{\Delta t\to 0}{\varphi(t_0+\Delta t)-\varphi(t_0)\over \Delta t}}={\psi'(t_0)\over \varphi'(t_0)}$

其中 $\alpha$ 为切线与x轴正向的夹角,若 $\varphi'(t_0)=0,\psi'(t_0)\neq 0$ ,则 $cot\alpha=\lim\limits_{\Delta x\over \Delta y}={\varphi'(t_0)\over \psi'(t_0)}$

若 $\varphi,\psi$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上都存在连续的导函数,且 $\phi'^2+\psi'^2\neq 0$ ,则称C为光滑曲线,光滑曲线上不仅每一点都有切线,且切线与x轴正向的夹角 $\alpha(t)$ 是t的连续函数

若 $x=\varphi(t)$ 有反函数 $t=\varphi^{-1}(x)$ ,则它与 $y=\psi(t)$ 构成复合函数 $y=\psi\circ\varphi^{-1}(x)$

此时只要函数 $\varphi,\psi$ 可导, $\varphi'(t)\neq 0$ ( $\Delta x\to 0时,\Delta t\to 0,\Delta y\to 0$ ),可由复合函数和反函数的求导法则

${dy\over dx}={dy\over dt}\cdot {dt\over dx}={dy\over dt}/{dx\over dt}={\psi'(t)\over \varphi'(t)}$

极坐标

若曲线C由极坐标 $\rho=\rho(\theta)$ 表示,则可转化为以极角 $\theta$ 为参量的参量方程 $\begin{cases}x=\rho cos\theta=\rho(\theta)cos\theta\\ y=\rho sin\theta=\rho(\theta)sin\theta\end{cases}$

此时,在相应的条件下可得

${dy\over dx}={(\rho(\theta)sin\theta)'\over (\rho(\theta)cos\theta)'}={\rho'(\theta)sin\theta+\rho(\theta)cos\theta\over \rho'(\theta)cos\theta-\rho(\theta)sin\theta}={\rho'(\theta)tan\theta+\rho(\theta)\over \rho'(\theta)-\rho(\theta)tan\theta}$

为曲线 $\rho=\rho(\theta)$ 上点 $M(\rho,\theta)$ 处的切线与极轴Ox轴夹角的正切

设过点M的射线OH与切线夹角为 $\varphi$ ,则

$tan\varphi=tan(\alpha-\theta)={tan\alpha-tan\theta\over 1+tan\alpha tan\theta}$

向径与切线夹角的正切

$tan\varphi={{\rho'(\theta)tan\theta+\rho(\theta)\over \rho'(\theta)-\rho(\theta)tan\theta}-tan\theta\over 1+{\rho'(\theta)tan\theta+\rho(\theta)\over \rho'(\theta)-\rho(\theta)tan\theta}tan\theta}$

$={\rho'(\theta)tan\theta+\rho(\theta)-\rho'(\theta)tan\theta+\rho(\theta)tan^2\theta\over \rho'(\theta)-\rho(\theta)tan\theta+\rho'(\theta)tan^2\theta+\rho(\theta)tan\theta}$

$={\rho(\theta)+\rho(\theta)tan^2\theta\over \rho'(\theta)+\rho'(\theta)tan^2\theta}$

$={\rho(\theta)\over \rho'(\theta)}$

例：证明：对数螺线 $\rho=e^{\theta\over 2}$ 上所有点的切线与向径的夹角 $\varphi$ 为常量

证：

$tan\varphi={\rho(\theta)\over \rho'(\theta)}$

$={e^{\theta\over 2}\over {1\over 2}e^{\theta\over 2}}=2$

$即在对数螺线上任一点的切线与向径的夹角等于arctan2$

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