二分查找

猜数字

现有两个玩家,分别为玩家A和玩家B;

  • 玩家A从一个范围中选择一个数(例如从 [1,1000] 中选择了352)

  • 让玩家B猜玩家A选择的数

  • 若玩家B猜的数字x小于352,说明x<352<=1000,应当在 [x+1,1000]中继续猜;

  • 若玩家B猜的数字x大于352,说明1<=352<x,应当在 [1,x-1] 中继续猜。

显然,每次选择当前范围的中间数去猜,就能尽可能快的逼近正确的数字,并最终将其猜出来。

由此,引申出的经典问题:如何在一个严格递增序列A中找出给定的数x。

最直接的办法是:线性扫描序列中的所有元素

  • 如果当前元素恰好为x,则表明查找成功;

  • 如果扫描完整个序列都没有发现给定的数x,则表明查找失败,说明序列中不存在数x。

    顺序查找的时间复杂为O(n)(其中n为序列元素个数)

二分查找是基于有序序列的查找算法,该算法一开始令 [left,right]为整个序列的下标区间,然后每次测试当前 [left,right]的中间位置 mid = (left+right)/2, 判断 A[mid]与与查询的元素x的大小。

  1. 如果 A[mid]==x,说明查找成功,退出查询。


    image-20210419215233629.png
  1. 如果 A[mid]>x,说明元素x在mid位置的左边,因此往左子区间[left,mid-1]继续查找。
image-20210419215442480.png
  1. 如果 A[mid]<x,说明元素x在mid位置的右边,因此往右子区间 [mid+1,right]继续查找。
image-20210419215648819.png

二分查找:每一步都可以去除当前区间的一半元素,因此其时间复杂度是O(logn)

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