使用PyTorch动手实现线性回归

本系列文章是笔者在学习《动手学深度学习》这本书的学习笔记，希望大家多多指教~

学习过程中有参考到一些有用的资源链接：

一.线性回归

1.首先简单介绍一下概念，然后动手实现线性回归。

此处用一个例子来解释线性回归。假设房屋的价格只取决于房屋状况的两个因素，即面积（平方米）和房龄（年）。接下来我们希望探索价格与这两个因素的具体关系。线性回归假设输出与各个输入之间是线性关系:
$\mathrm{price} = w_{\mathrm{area}} \cdot \mathrm{area} + w_{\mathrm{age}} \cdot \mathrm{age} + b$

数据集

为了预测房屋价格，需要有已知的数据进行模型的训练。数据集可以分为训练集、验证集和测试集。训练集用于模型的训练过程，使用这类数据可以学习出模型的参数，验证集用来验证模型的好坏，调整模型的参数。测试集则是最终需要根据模型预测出结果的集合。

损失函数

在模型训练中，我们需要衡量价格预测值与真实值之间的误差。通常我们会选取一个非负数作为误差，且数值越小表示误差越小。一个常用的选择是平方函数。它在评估索引为 $i$ 的样本误差的表达式为

$l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = \frac{1}{2} \left(\hat{y}^{(i)} - y^{(i)}\right)^2,$

$L(\mathbf{w}, b) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n l^{(i)}(\mathbf{w}, b) =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2}\left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right)^2.$

优化函数 - 随机梯度下降

在优化模型的过程中，常常使用小批量随机梯度下降（mini-batch stochastic gradient descent），也称为mini-batch SGD。
算法如下：

先选取一组模型参数的初始值，如随机选取；
接下来对参数进行多次迭代，使每次迭代都可能降低损失函数的值。在每次迭代中，先随机均匀采样一个由固定数目训练数据样本所组成的小批量（mini-batch） $\mathcal{B}$ ，然后求小批量中数据样本的平均损失有关模型参数的导数（梯度）
用此结果与预先设定的一个正数的乘积作为模型参数在本次迭代的减小量。
不断重复迭代多次，直至收敛。

$(\mathbf{w},b) \leftarrow (\mathbf{w},b) - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_{(\mathbf{w},b)} l^{(i)}(\mathbf{w},b)$

学习率: $\eta$ 代表学习率
批量大小: $\mathcal{B}$ 是小批量计算中的批量大小batch size

2.动手实现线性回归

首先导包：

# import packages and modules
%matplotlib inline
import torch
from IPython import display
from matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np
import random

print(torch.__version__)

生成数据集

使用线性模型来生成数据集，生成一个1000个样本的数据集，下面是用来生成数据的线性关系：

$\mathrm{price} = w_{\mathrm{area}} \cdot \mathrm{area} + w_{\mathrm{age}} \cdot \mathrm{age} + b$

# set input feature number 
num_inputs = 2
# set example number
num_examples = 1000

# set true weight and bias in order to generate corresponded label
true_w = [2, -3.4]
true_b = 4.2

features = torch.randn(num_examples, num_inputs,
                      dtype=torch.float32)
labels = true_w[0] * features[:, 0] + true_w[1] * features[:, 1] + true_b
# add the normal distribution
labels += torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, size=labels.size()),
                       dtype=torch.float32)

画图看看分布：

plt.scatter(features[:, 1].numpy(), labels.numpy(), 1);

数据集分布

使用生成器来生成数据：

def data_iter(batch_size, features, labels):
    num_examples = len(features)
    indices = list(range(num_examples))
    random.shuffle(indices)  # random read 10 samples
    for i in range(0, num_examples, batch_size):
        j = torch.LongTensor(indices[i: min(i + batch_size, num_examples)]) # the last time may be not enough for a whole batch
        yield  features.index_select(0, j), labels.index_select(0, j)

初始化模型参数

w = torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, (num_inputs, 1)), dtype=torch.float32)
b = torch.zeros(1, dtype=torch.float32)

w.requires_grad_(requires_grad=True)
b.requires_grad_(requires_grad=True)

定义模型：根据上述线性关系定义模型

def linreg(X, w, b):
    return torch.mm(X, w) + b

定义损失函数:使用的是均方误差
$l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = \frac{1}{2} \left(\hat{y}^{(i)} - y^{(i)}\right)^2,$

def squared_loss(y_hat, y): 
    return (y_hat - y.view(y_hat.size())) ** 2 / 2

定义优化函数：使用上述的mini_batch SGD

def sgd(params, lr, batch_size): 
    for param in params:
        param.data -= lr * param.grad / batch_size # ues .data to operate param without gradient track

开始训练

# super parameters init
lr = 0.03
num_epochs = 5

net = linreg
loss = squared_loss

# training
for epoch in range(num_epochs):  # training repeats num_epochs times
    # in each epoch, all the samples in dataset will be used once
    
    # X is the feature and y is the label of a batch sample
    for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
        l = loss(net(X, w, b), y).sum()  
        # calculate the gradient of batch sample loss 
        l.backward()  
        # using small batch random gradient descent to iter model parameters
        sgd([w, b], lr, batch_size)  
        # reset parameter gradient
        w.grad.data.zero_()
        b.grad.data.zero_()
    train_l = loss(net(features, w, b), labels)
    print('epoch %d, loss %f' % (epoch + 1, train_l.mean().item()))

训练结果

可以来看看根据模型训练生成的参数和实际参数的情况：

w, true_w, b, true_b

(tensor([[ 2.0004],
         [-3.3999]], requires_grad=True),
 [2, -3.4],
 tensor([4.1995], requires_grad=True),
 4.2)

可以看到训练参数w和b和实际参数true_w和true_b还是非常接近的，训练完成。
上面是使用的PyTorch从零实现线性回归，接下来是调用PyTorch 的API来更简单地实现模型。每个步骤都可以和上面对应起来：

import torch
from torch import nn
import numpy as np
torch.manual_seed(1)

print(torch.__version__)
torch.set_default_tensor_type('torch.FloatTensor')

num_inputs = 2
num_examples = 1000

true_w = [2, -3.4]
true_b = 4.2

# generate datasets
features = torch.tensor(np.random.normal(0, 1, (num_examples, num_inputs)), dtype=torch.float)
labels = true_w[0] * features[:, 0] + true_w[1] * features[:, 1] + true_b
labels += torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, size=labels.size()), dtype=torch.float)

import torch.utils.data as Data

batch_size = 10

# combine featues and labels of dataset
dataset = Data.TensorDataset(features, labels)

# put dataset into DataLoader
data_iter = Data.DataLoader(
    dataset=dataset,            # torch TensorDataset format
    batch_size=batch_size,      # mini batch size
    shuffle=True,               # whether shuffle the data or not
    num_workers=2,              # read data in multithreading
)

接下来定义模型，有几种定义的方式：

# define the linear regression model

# method one
class LinearNet(nn.Module):
    def __init__(self, n_feature):
        super(LinearNet, self).__init__()      # call father function to init 
        self.linear = nn.Linear(n_feature, 1)  # function prototype: `torch.nn.Linear(in_features, out_features, bias=True)`

    def forward(self, x):
        y = self.linear(x)
        return y
   # ways to init a multilayer network
# net = LinearNet(num_inputs)

# method two
net = nn.Sequential(
    nn.Linear(num_inputs, 1)
    # other layers can be added here
    )

# method three
net = nn.Sequential()
net.add_module('linear', nn.Linear(num_inputs, 1))
# net.add_module ......

# method four
from collections import OrderedDict
net = nn.Sequential(OrderedDict([
          ('linear', nn.Linear(num_inputs, 1))
          # ......
        ]))
print(net)
print(net[0])

随后初始化模型参数、定义损失函数、定义优化函数。

from torch.nn import init

init.normal_(net[0].weight, mean=0.0, std=0.01)
init.constant_(net[0].bias, val=0.0)  # or you can use `net[0].bias.data.fill_(0)` to modify it directlyzz

# mse loss
loss = nn.MSELoss()

# sgd optimizer
import torch.optim as optim

optimizer = optim.SGD(net.parameters(), lr=0.03)   # built-in random gradient descent function

开始训练：

num_epochs = 3
for epoch in range(1, num_epochs + 1):
    for X, y in data_iter:
        output = net(X)
        l = loss(output, y.view(-1, 1))
        optimizer.zero_grad() # reset gradient, equal to net.zero_grad()
        l.backward()
        optimizer.step()
    print('epoch %d, loss: %f' % (epoch, l.item()))

epoch 1, loss: 0.000307
epoch 2, loss: 0.000048
epoch 3, loss: 0.000198

查看参数对比：

# result comparision
dense = net[0]
print(true_w, dense.weight.data)
print(true_b, dense.bias.data)

[2, -3.4] tensor([[ 2.0000, -3.4010]])
4.2 tensor([4.1998])

如上就是线性回归的全部内容，下一篇来讲Softmax的原理和实现。