从命题十七开始，到命题三十二为止。探讨三角形中的不等式。同时，也讨论平行。
现代的不等号，就是在一组平行线上，画上一条斜线。≠ 。研究平行的时候也是，用一条直线与待考察的两条直线相交，然后考察那些相交的角。不等关系从一开始就与平行有着说不清的联系。就像透过有限，来研究无限;透过相交，来研究平行;知道生，才知道死。这些道理是一致的。
讨论平行的命题，从第二十七开始。但只有二十七，二十八两个命题是来自外角定理的推论。
从第二十九命题开始，第一卷剩下所有的命题都与第五公设相关。
因此，第一卷可以这样划分：
先划分为两部分，
1-28命题为第一部分，得到一条平行线;
29-48命题为第二部分，研究这线的性质。
或者说，独立于第五公设的部分，以及第五公设推导的部分。
≠ 关系
命题十七 三角形的两个内角和小于两直角。
这个命题是外角定理直接的推论，假设三角形的两个内角为A,B,C,而且与A相邻的外角为 alpha,明显，A+alpha为两个直角,而 B< alpha，所以A+B小于两个直角。
作为外角定理的推论，也与外角定理等价。这个命题，比看上去重要，留待后面讨论。
命题十八 在三角形中，大边对大角。
图形只是一个特例。这个命题与第五命题呼应。
命题十九 在三角形中，大角对大边。
命题十九实际上蕴含在命题十八的逆否命题中。“大边对大角”的逆否命题是“不大的角对不大的边”，也就是“等角或小角对等边或小边”，比较的时候，是两个角在比较，一个角自称“等角或小角”，那么另一个角就可自称为“大角”，一个边自称“等边或小边”，那么，另一个边自然是“大边”，那么，从另一个角的和它对的边来看，自然就是“大角对大边”。
而且，这两个命题的排列同前面的都有所不同，例如命题5和命题6,排列上奇数在前，偶数在后。从这两个命题开始，本部分“成对”出现的命题都变成了偶数在前，奇数在后。直到第三部分，讨论面积的时候，恢复成原始的样子。
这里发生了什么？留待后面讨论。
命题二十 三角形两边之和大于第三边。
这个从直觉上，折线长大于线段长就可以理解。或者“两点之间，直线最短”也可以得出解释。
这个是著名的“三角形不等式”。
命题二十一 以三角形一边的两个端点向三角形内引两条相交线，那么交点到这两个端点的两条线段和小于三角形余下的两边和，所形成的角大于余下两边的夹角。
这个命题很长。实际上是命题二十的练习题。看起来像是凑数的命题，纯粹为调节命题序号而存在。但与圆内的点相关的命题比较起来看，存在也很合理。
如图的三角形ABC内取一点，连接BD,BC，则角BDC大于角BAC，这个容易证明，因为角BDC可以看作两个三角形的外角。根据外角定理，以及同向不等式可加，易证。
长度的证明有技巧性，因此是及好的练习题。只适当的做辅助线，运用命题20证明。
命题二十二 用满足三角形不等式的三边可作三角形。
这个命题实际上对命题一作出了保证。保证了等边三角形可以做出来。
这个命题实际上是命题二十的逆命题。命题二十讲，如果已知j三角形，那么可以有不等式。本命题是讲，如果同时满足三个不等式，那么可做三角形。
命题二十三 给定顶点和一边，可迁移角。
实际上使用了SSS全等来迁移一个角。希尔伯特对角的迁移作了公理化处理。
命题二十四 两个三角形有两条边对应相等，其中一个三角形对应的夹角大于另一个三角形的夹角，那么，这个三角形的第三边也大于另一个的第三边。
命题二十五 三角形中如果有两条对应边相等，其中一个的第三边比另一个大，那么，较大的边对的角也较大。
这两个命题被形象的称为“剪刀定理”，好比拿着一把剪刀，两边张开的角度越大，剪刀两个尖端的距离自然越远;反之也是，要剪大的东西，自然要张开更大的角度。
这两个命题实际上是余弦定理的前身，精确量化以后，就是余弦定理。而余弦定理在取直角的时候，就是勾股定理。因此，这两个定理同勾股定理有着联系。也同SAS和SSS全等密切联系。很明显，两旁的量如果一样，那么中间的量决定了三角形是否能够全等。
这两个命题是“成对”的，注意到，仍然是偶数序号在前面。这不科学，好比印书的时候，把页码2,和页码3印在一张纸的正反面。为什么这样呢？留待后面解释。
命题二十六 ASA全等，AAS全等
ASA全等可以通过前面的各种全等证明。也可以出现在更早的地方。欧几里得的证明用到了外角定理，因此出现在这里。希尔伯特因为规定了角的迁移，因此，一早就给出了证明。
ASA出现在这里，表示，
前方高能
要把等腰三角形的两个底角张开来，把腰挺直，让顶角分开，看看，张开到什么程度，腰所在的向上的射线就不再相交。
命题二十七 内错角相等，两直线平行。
命题二十八 同位角相等，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。
这两个命题就明确的指出了，直线什么时候不相交，也就是平行。
这两个命题本质上是一样。给出了三种判定平行线的方法。证明过程中，用到了外角定理。也就是说，这两个命题把重要的事情说了三遍。
这两个命题是平行线的判定定理。
这两个命题的来源是命题十六，外角定理。
这里本该安排三个命题，或者一个就够了。为什么是两个呢？仅仅为了调节配对。要做这样的事情，只是因为命题十七。
再次考察命题十七。
三角形的两个内角和小于两直角
欧几里得曾为好看的命题都增加一个逆命题或者配对的命题。但命题十七没有。当初应该有。那么当初，命题十七的逆命题是怎样的呢？
先看原命题
原命题说，如图三角形的两个内角和小于两个直角。
命题十七原命题也可以这样说：
同一平面内，一条直线（AB）和另外两条直线（AC和BC）相交，这两条直线在AB的一侧相交（点C为交点），那么，这一侧的两个内角和小于二直角的和。
那么，当初，命题十七的逆命题或者说配对的命题应该这样写：
同平面内一条直线和另外两条直线都相交，若在直线同侧的两个内角之和小于两个直角，则这两条直线（无限延伸后）在这一侧相交。
眼熟吗？当初，欧几里得每写一个命题，就配对一个命题（有是逆命题，有时不是）。然后证明之。到第十七命题的时候，也配对了这样一个命题。然后就开启了证明模式。
最后发现，尽管这个命题直觉上很正确的，但用已有的全等理论、外角定理等等，居然无法证明！无法证明！无法证明！
于是，他就把本该是第十八命题的这个命题移到前面，悬挂在那里，暂时作为公设，有空了回来证证看。后面几个命题序号的奇偶先错乱一下，算是作个标记，提醒自己回来证明这个公设。
现有的命题十八和命题十九互为逆否命题，也暗示了这一点。也就是说。命题十八和命题十九是完全等价的。因此，可以只有一个。
因为一直不能证明，所以它就一直不能回到命题十八的位置上，而只能一直悬挂在前面，作为公设永远流传下来了。
这个公设就是第五公设。引无数英雄竞折腰。欧几里得是第一个英雄，后面还有很多很多的英雄，试图用第一到第十七命题来证明它，但从来没有成功过。
如果你也想尝试一下，那么，一定只能用最前面的十七个命题，或者宽一点，第一卷最前面的二十八个命题。因为，假如用了后面的命题，一不小心就会使用第五公设的等价命题来证明第五公设。就像证明“我是我”一样，因为“我是我”，所以“我是我”。
第五公设引出的故事，用三天三夜也讲不完。
命题二十九 两直线平行，内错角相等，同位角相等，同旁内角互补（和为两个直角）。
命题二十九是命题二十七和二十八的逆命题。证明的时候，不得已要用到第五公设。
这个命题讲的是平行线的性质，也就是已知两直线平行，会发生什么。
这个命题的证明用到了第五公设。
并且，从这个命题开始，直到第48命题，每一个都同第五公设有关。因为，用到了平行线的性质。
因此，凡是不得不使用平行线性质证明的命题，都需要第五公设直接或间接来参与证明。
第二十七和二十八命题讲平行线的判定，也就是说，判定两两直线满足某些条件，就可以平行。来源是外角定理，与第五公设无关。
命题三十 一些直线平行于同一直线，它们也相互平行。
这是平行的传递性。也属于平行线的性质。自然，与第五公设相关。实际上，等价。
命题三十一 Playfair公理
尽管有人不认为欧几里得发现了这个公理，过直线外一点，能作且只能作一条平行线平行于已知直线。但我认为，他肯定知晓。因为，这个命题的位置在这里。它前后的命题都与第五公设相关，它自身也是与第五公设相关的。
单从外角定理就可以做平行线了，例如，平移正三角形的一内角到外角内。证明平行不需要第五公设。
欧几里得单独设这样一个命题，就是在说：只能作一条平行线。
既然第五公设放在了前面，这个等价的命题就没有必要也放在前面。
命题三十二 三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角之和。三角形的三个内角和为两个直角。
这个命题，是三角形的内角和定理。最广为人知。
三角形三个内角的和为一百八十度。
证明的时候，直接使用了平行线的性质。
也可以用来代替第五公设。
用平行线的性质，很容易证明平行线之间，处处距离相等。
勾股定理也就有了基础。
同时，勾股定理与第五公设也有密切的关系。
在此后，很多地方，如相似等，都用的了平行线的性质，也就是说，间接引用了第五公设。第五公设看上去很长，望之不似人君，所以，后来的数学家想把它证明，然后移除，于是发生很多很多的故事。
第五公设不是家丑，而是欧氏几何的精华。
本部分命题结构如下
很多一部分是来自外角定理的命题，只讲三角形中的不等式。
简化结构以后，就是这个样子：
可以看到，第五公设就是命题十七的逆命题，命题28和29也互为逆命题，而且偶数在前。从27到29的命题，可以随意的拆分，调节序号。
30和32命题直接来源于第五公设。
31命题，指出了平行线的存在性，来自外角定理；同时指出了平行线的唯一性，来自第五公设。是两个命题合并起来的命题。
在外角定理作为大前提的情况下，Playfair公理和第五公设是等价的。历史上的英雄想通过证明来移除第五公设的尝试失败了，但成功的帮它完成了瘦身，如今，教科书上都写平行公理：
平行公理（Playfair公理）
给定一条直线，通过此直线外的任何一点，有且仅有一条直线与之平行。
而第五公设的等价写法是
欧几里得公理
设a是任一直线，A是a外的任一点，在a和A所决定的平面上，至多有一条直线过A且不和a相交。
在设定阿基米德公理的情况下，
外角定理表明，存在；
欧几里得公理表明至多有一条。
平行公理说，有且仅有一条。
到底有多少，你说了算。
先师欧几里得，罗巴切夫斯基，黎曼......请赐我力量，让我进步。
最终总结，本卷结构：
