子环·理想和商环
子环
定义：设)
是一个环,S是R的一个非空自己,若S对R的运算也作成一个环,则称S为R的一个子环,R为S的扩环
类似可定义子整环,子除环,子域
例：
1.对任一环R,
和R本身是R的子环,称为R的平凡子环
2.设)
是整数环,2Z是全体偶数的集合,易证2Z是Z的一个子环
3.设%7Ca%2Cb%5Cin%20R%5C%7D)
,%3D(c%2Cd)%5CLeftrightarrow%20a%3Dc%2Cb%3Dd)
,定义加法和乘法：%2B(c%2Cd)%3D(a%2Bc%2Cb%2Bd))
,(c%2Cd)%3D(ac%2Cbd))
,则
是环,%7Ca%5Cin%20R%5C%7D)
是的子环
显然,S为的一个非空子集,%2C(b%2C0)%5Cin%20S)
,有%2B(b%2C0)%3D(a%2Bb%2C0)%5Cin%20S)
,(b%2C0)%3D(ab%2C0)%5Cin%20S)
,故上的加法和乘法定义了S上的加法和乘法
显然加法满足结合律和交换律,%5Cin%20S)
为S中加法的零元,%5Cin%20S)
,%5Cin%20S)
,使%2B(-a%2C0)%3D(0%2C0))
,故S对加法作成一个交换群
是环,故乘法满足结合律、分配律
S为的子集,且对加法和乘法封闭,则也满足乘法的结合律、分配律
S为的子环
判断
定理：设是一个环,S是R的一个非空子集,则S是R的子环的充要条件为：
1.
,有
2.,有
证明：
%E4%BD%9C%E6%88%90%E4%BA%86(R%2C%2B)%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%AD%90%E7%BE%A4)
例：设)
为实数域上所有2阶方阵对矩阵的加法和乘法所作成的环,设
,则S是%E2%80%8B)
的一个子环
对S中任意两个矩阵
,
,有
是的一个子环
设
则T对乘法不封闭,不是的子环
理想
定义：设是环,I是R的子环,若
,有
,则称I为R的理想
对任意环R,由定义,和R本身都是环R的理想,称为平凡理想
例：
1.设R为整数环,
,
,则mZ是环R的理想
2.设![F[x]](https://math.jianshu.com/math?formula=F%5Bx%5D%E2%80%8B)
是数域F上的多项式环,
即S为所有常数项为零的多项式的集合,由多项式运算规则
%2Cg(x)%5Cin%20S)
,有-g(x)%5Cin%20S)
,![\forall u(x)\in F[x]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cforall%20u(x)%5Cin%20F%5Bx%5D)
,有f(x)%3Df(x)u(x)%5Cin%20S)
,故S是F[x]的理想
3.设
是%2C%2B%2C%5Ccdot))
的子集,则L是的子环,但不是理想
在环R中,定义它的子集运算：设S,T是环R的两个非空子集
若I,J是环R的理想,则
,
和
都是R的理想
主理想
设R是一个环,
,R中一切如下形式的元组成元的集合S：
,其中
,
,
表示对有限个
形式的元求和,则S作成R的理想
,显然
ay_i%2B(rs)a%2Brat%2B(nr)a)
%2Bsar%2Ba(tr)%2Ba(nr))
显然
,故S是R的理想,称S为由元a生成的理想,记作)
由一个元生成的理想称为主理想,显然)
是R中包含a的最小理想
当
是交换环时,%3D%5C%7Bra%2Bna%7Cr%5Cin%20R%2Cn%5Cin%20Z%5C%7D)
当R是含幺环时,%3D%5C%7B%5Csum%5Climits_%7Bi%7Dx_iay_i%7Cx_i%2Cy_i%5Cin%20R%5C%7D)
当R是含幺交换环时,%3D%5C%7Bra%7Cr%5Cin%20R%5C%7D)
例：
1.在中,整数m生成的理想为%3D%5C%7Bkm%7Ck%5Cin%20Z%5C%7D%3DmZ)
2.
是![F[x]](https://math.jianshu.com/math?formula=F%5Bx%5D)
的一个主理想,)
商环
理想在环中的作用类似于正规子群在群中的作用
设I是环的一个理想,则)
是)
的一个正规子群,用I对R作陪集分解,以
表示x所在的陪集,则
令
表示所有陪集的集合,则
对加法运算
作成一个交换群
定义中乘法运算：
先证这个样定义的运算结果与代表元的选取无关
设
,则
,使
故(y%2Br_2)%3Dxy%2Br_1y%2Bxr_2%2Br_1r_2)
I是理想,
,故
即
所以以上规定的中的乘法是合理的
%5Coverline%7Bz%7D%3D(%5Coverline%7Bxy%7D)%5Coverline%7Bz%7D%3D%5Coverline%7Bxyz%7D)
%3D%5Coverline%7Bx%7D(%5Coverline%7Byz%7D)%3D%5Coverline%7Bxyz%7D)
故中的乘法适合结合律
因为中的加法和乘法都是用陪集的代表元的相加和相乘规定的,R中元所适合的运算法则可转移到中,故中的加法和乘法也适合左、右分配律,故关于所定义的加法和乘法作成一个环,称为R关于理想I的商环
定义：设R是一个环,I是R的一个理想,R作为加群关于I的商群对乘法所作成的环,称为R关于I的商环,或称为R模I的同余类环,记作
注：一般的同余类环是整数的同余类环的推广
例：
1.设,%3DnZ)
是由正整数n生成的主理想,则由商环：
,构造这个商环时,利用了Z的主理想%3DnZ)
,Z中两个元a和b在同一个陪集)
显然,该条件与
等价,故
的元正是整数模n的同余类
故将称为R模I的同余类环
2.设是数域F上的多项式环,%3Da_0%2Ba_1x%2Ba_2x%5E2%2B%5Ccdots%2Ba_nx%5En)
,
,![I=(g(x))=\{f(x)g(x)|f(x)\in F[x]\}](https://math.jianshu.com/math?formula=I%3D(g(x))%3D%5C%7Bf(x)g(x)%7Cf(x)%5Cin%20F%5Bx%5D%5C%7D)
为中由多项式)
所生成的理想
则关于理想I的商环为
![F[x]/(g(x))=\{r(x)+(g(x))|r(x)\in F[x],r(x)=0或deg\; r(x)\lt n\}](https://math.jianshu.com/math?formula=F%5Bx%5D%2F(g(x))%3D%5C%7Br(x)%2B(g(x))%7Cr(x)%5Cin%20F%5Bx%5D%2Cr(x)%3D0%E6%88%96deg%5C%3B%20r(x)%5Clt%20n%5C%7D)
