2019-10-27 平面上可用尺规作图的点

本文主要研究，平面上哪些点可以用直尺和圆规做出来

首先，我们用复数 $x+yi (x,y \in R)$ 表示平面上的点,这样平面上每个点都可以由唯一的复数确定，平面上的点能作出也即对应的复数能作出。

前提：直尺无刻度，圆规可绘制任意长度半径，点 $0+0i和1+0i$ 默认可以做出；

下面研究哪些点可以用直尺和圆规作出，下文中“可作出”如无特殊强调均指“可用直尺和圆规作出,对于虚部为0的点，一般省略掉虚部,实部为0的点则省略掉实部，同时为了简单，我们用集合G表示平面上所有可作出的点组成的集合，如果点x+yi可作出，则记为:
$x+yi \in G$

1)， $n+0i (n \in Z) \in G$
证明：
首先，利用点 $0+0i, 1+0i$ ,以及圆规，以 $1+0i$ 为圆心，1为半径，作圆与过0,1的直线交于2点，其中一点是 $0+0i$ ,第二点是 $2+0i$ ,则 $2+0i$ 可作出。
类似，利用 $1+0i,2+0i,以2+0i$ 为圆心，可作出 $3+0i$ ,...类似可以做出 $n+0i$ , (n>0)
利用 $0+0i,1+0i$ 也可以作出 $-1+0i$ , 类似... 可作出 $-n+0i$ (n>0)
综上，任意整数 $n+0i$ 可以做出

2)，给定平面上任意2点，可以作出其中点
证明：
设2点距离为r，利用圆规，以a>r/2为半径，分别以2点为圆心作圆，两圆有2个交点，过2个交点作直线与原直线相交，该交点即为中点。

3), 给定一直线和一点x+yi，利用直尺和圆规可作出过该点且与该直线垂直的直线
证明：
利用圆规，以点x+yi为中心，半径大于点到该直线的距离为半径，则可以作圆与直线交于两点p1,p2, 再利用2) 作p1,p2的中点，则该点与点x+yi的连线即所求

4),给定一直线l和一点x+yi, 可作出过该点与原直线平行的直线
证明：
利用3)作出过点x+yi且与l垂直的直线l'，再依据3)利用x+yi和l'，作出与过x+yi且与l'垂直的直线l'',则l''就是所求

利用点 $0+0i$ 以及直线 $(0+0i,1+0i)$ ,可作出直线 $(0+0i,0+1i)$ 并作出点 $0+1i$ ,通过类似1)的方法可以作出任意点 $0+ni (n \in Z)$
类似，利用m+0i以及类似方法，可作出任意点 $m+ni (n \in Z)$
至此，概括为任意复整数 $a+bi (a \ b \in Z)$ 都可以作出
$x \in G => 1/x \in G$
证明：利用比例关系 $1:(1/x)=x:1$
利用点 $0+1i , 0+xi ,1+0i ,$
作直线 l 过(0+xi,1+0i)，并过0+1i作直线 l' 与l平行，且与x轴交于a+0i,
显然，利用相似三角形对应边成立，得到a=1/x
一般，利用圆规，如果数字 $x+0i \in G => 0+xi \in G$
$x \in G , yi \in G => x+yi \in G$
证明：显然，利用分别与y轴和x轴平行的直线可作出 $x+yi$
$x+yi \in G => nx+nyi (n \in Z) \in G$
证明：
显然x+yi 可作出意味着x,yi分别可作出，
只需证明nx可作出，类似可证nyi可作出，从而nx+nyi也可作出。
利用圆规以x为圆心,x为半径作圆与x轴交于2x,类似可走出3x,...nx,易证对n为负数也成立，综上证明完毕
任意有理数 $p/q (p,q \in Z ,q \neq 0)$ 可作出，从而 $a+bi (a,b \in Q )$ 可作出
证明:
利用6) 1/q可作出，利用9) p/q可作出，证毕
$x \in G, y \in G =>\sqrt{x^2+y^2} \in G$ ,且 $n\in G => \sqrt{n}\in G$
证明：
显然，利用勾股定理，通过 $x+0i,0+yi$ ,可作出长度 $\sqrt{x^2+y^2}$
$\sqrt{2}=\sqrt{1^2+1^2}$
$\sqrt{3}=\sqrt{ \sqrt{2}^2 +1^2 }$
...
$\sqrt{n}=\sqrt{\sqrt{n-1}^2+1^2}$
证明完毕
如果 $a+bi$ 可作出, $c+di$ 可作出 , 显然 $(a+c)+(b+d)i$ 可作出;
$a+bi \in G => -a-bi \in G$
证明：通过找关于原点的中心对称点即可
如果x可作出，y可作出，则 $x \times y$ 可作出
证明:
利用比例关系 $(xy):x=y:1$
先做出 $y,xi,1i$ , 过 $xi$ 作直线 $l' 与 \ l(y,1i)$ 平行，利用相似三角形则 $l'$ 与 $x$ 轴交点为 $xy$ ;

15)如果 $a+bi$ 可作出， $c+di$ 可作出，则 $(a+bi) \times (c+di)$ 可作出
证明:
$(a+bi) \times (c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i$
利用 13) ,可作出 ac,bd,ad,bc,进而作出 ac-bd,ad+bc, 证毕

$a+bi \in G => 1/(a+bi) \in G$
证明:
$1/(a+bi)=(a-bi)/(a^2-b^2)$
$a+bi \in G =>a\in G , b\in G=>a^2\in G,b^2\in G => a^2-b^2 \in G$
$=> a/(a^2-b^2) \in G , (-b)/(a^2-b^2) \in G => (a-bi)/(a^2-b^2) \in G$
证明完毕
$\sqrt{p/q} (p,q \in Z,q\neq 0) \in G$
证明：利用上文 $\sqrt{p} \in G ,\sqrt{q}\in G=> 1/\sqrt{q} \in G =>\sqrt{p/q} \in G$
$n^{1/4}(n\in N) \in G$
证明: 根据11) $\sqrt{n} \in G$ , 根据10) $1/4 \in G$
根据12) $\sqrt{n}+1/4 \in G$
利用11) $\sqrt{(\sqrt{n}+1/4)^2+(\sqrt{n}+1/4)^2} \in G$
$=> \sqrt{1/8+2n+\sqrt{n}} \in G$
$设x=\sqrt{1/8+2n+\sqrt{n}} \in G , y = 1/8+2n=(1+16n)/8 \in G$
利用17) $z = \sqrt{y} \in G$
则 $\ \sqrt{n} = x^2- z ^2 => (n^{1/4})^2 = x^2 - z^2$
$\ 利用勾股定理，以及 x,z \in G , 以z为原点，x为半径作圆交 y轴于 0+-ti (t>0)$
则 $\ t^2 = x^2 -z ^2=> t=n^{1/4}$
证明完毕；
$\ x \in G ,y\in N => x^{1/2^y} \in G$
证明:
$x\in G => x+1/4 \in G => \sqrt{(x+1/4)^2 +(x+1/4)^2 } \in G$
$=> \sqrt{ 1/8+2x^2+x } \in G$
设 $a= \sqrt{ 1/8+2x^2+x } \in G$
设 $b=\sqrt{1/8+2x^2} =\sqrt{ (\sqrt{2}/4)^2 + (\sqrt{2}x)^2 } \in G$
则 $\sqrt{x}^2 = a^2-b^2 ，且 a\in G, b\in G$
利用18) 中类似方法，得到 $\sqrt{x} \in G$
类似，利用 $\sqrt{x}取代 x$ ,可以进一步证明 $x^{1/2^2} \in G$ ,...
直到 $x^{1/2^y} \in G$
证明完毕
根据以上分析，得到，一般来说对于平面上的点x+yi 满足:
$x,y$ 为可通过有理数，进行有限次 +，-,*,\ 开2次根号运算所得到的数字，
则 $x+yi \in G$
用更严谨的语言来说 :如果存在 2次域扩张 $Q\subset K \subset K' ...\subset K^v$
使得 $x,y\in K^v$ ，则 $x+yi$ 可尺规作图 $

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2019-10-27 平面上可用尺规作图的点

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