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这三种变换都非常重要！任何理工学科都不可避免需要这些变换。
这三种变换的本质是将信号从时域转换为频域。傅里叶变换的出现颠覆了人类对世界的认知：世界不仅可以看作虽时间的变化，也可以看做各种频率不同加权的组合。举个不太恰当的例子：一首钢琴曲的声音波形是时域表达，而他的钢琴谱则是频域表达。
三种变换由于可以将微分方程或者差分方程转化为多项式方程，所以大大降低了微分（差分）方程的计算成本。
另外，在通信领域，没有信号的频域分析，将很难在时域理解一个信号。因为通信领域中经常需要用频率划分信道，所以一个信号的频域特性要比时域特性重要的多。
具体三种变换的分析（应该是四种）是这样的：
傅里叶分析包含傅里叶级数与傅里叶变换。傅里叶级数用于对周期信号转换，傅里叶变换用于对非周期信号转换。
但是对于不收敛信号，傅里叶变换无能为力，只能借助拉普拉斯变换。（主要用于计算微分方程）
而z变换则可以算作离散的拉普拉斯变换。（主要用于计算差分方程）
x0000.gif
为什么要变换？
一切的变换的意义，都是为了能在数学上面表达一个波的形状到底是什么。一开始我们可以用一个冲激函数以时间的顺序排成一排，再每个乘以各自的系数（线性组合），就能得到纸面上一个波的形状。后来，伟大的傅里叶同学发现，不仅使冲激函数，用复指数信号叠加之后乘上各自的系数，也可以表达几乎所有的波的波形。而且！用复指数信号表达的输出计算方式比卷积有规律很多，而这个规律可以从频域上面看出来。这个发现，使得信号的变换进步了一大步。
周期信号可以用傅里叶级数表示，非周期信号用傅里叶变换表示。这个再展开讲就偏题了。奉上以前的傅里叶公式笔记一张（__）（来自知乎用户牛咩咩）
拉普拉斯变换：傅里叶变换对信号的要求比较高，适应于本身衰减得快的信号。为了扩大傅里叶变换的应用范围，使其能用于更多不稳定系统的分析，人们在计算过程中人为的添上一个负指数函数作为系数，让一些不衰减的信号更快衰减，方便换算。这就是拉布拉斯变换的由来。拉普拉斯变换用于连续信号。
拉布拉斯变换：
X\left(s \right) =\int_{-\infty }^{+\infty } x\left( t \right) ex^{-st} dt
其中
s=\sigma +jw
把
s
X\left( \sigma +jw \right) =\int_{-\infty }^{+\infty } \left[ x\left( t \right)e^{-\sigma t} \right] ex^{-jwt} dt
跟傅里叶变换的公式对比起来看，是不是只差了个系数？
因为变换要收敛才有意义，所以收敛域讨论的是让
e^{-st}
Z变换：和拉普拉斯变换的目的类似，把离散时间傅里叶变换公式的
e^{jw}
z变换：
X\left( z \right)=
\sum_{n=-\infty }^{+\infty }{x\left[ n \right] } z^{-n}
其中
z=e^{jw}
带进去就可以还原了。
同样，Z变换的收敛域是要让算出的值有意义，通过等比公式展开之后可以看到，需要z小于或者大于某个值才可以，用极坐标来看，就是个圆域。
从复平面来说，傅里叶分析直注意虚数部分，拉普拉斯变换则关注全部复平面，而z变换则是将拉普拉斯的复平面投影到z平面，将虚轴变为一个圆环。（不恰当的比方就是那种一幅画只能通过在固定位置放一个金属棒，从金属棒反光才能看清这幅画的人物那种感觉。）
怎么理解？
我假定现在大家对这些变换已有一些了解，至少知道这些变换怎么算。好了，接下来我将从几个不同的角度来阐述这些变换。
一个信号，通常用一个时间的函数
x(t)
因此，如果我们将信号全部分解成正弦信号的线性组合（傅里叶变换）
x(t)=\Sigma_\omega X(\omega ) e^{i \omega t}
那么就可以用一个传递函数
H(w)=Y(w)/X(w)
来描述这个线性系统。倘若这个信号很特殊，例如
e^{2t} sin(t)
x(t)=\Sigma _s X(s) e^{st}
这样一个线性系统都可以用一个传递函数
H(s)=Y(s)/X(s)
来表示。所以，从这里可以看到将信号分解为正弦函数（傅里叶变换）或者 复指数函数（拉普拉斯变换）对分析线性系统至关重要。
如果只关心信号本身，不关心系统，这几个变换的关系可以通过这样一个过程联系起来。
首先需要明确一个观点，不管使用时域还是频域（或s域）来表示一个信号，他们表示的都是同一个信号！关于这一点，你可以从线性空间的角度理解。同一个信号，如果采用不同的坐标框架（或者说基向量），那么他们的坐标就不同。例如，采用
{\delta(t-\tau )|\tau \in R}
x(t)
{e^{i w t}|w\in R}
X(w)
如果我们将拉普拉斯的
s=\sigma+j w
域画出来，他是一个复平面，拉普拉斯变换
X(s)
j w
X(jw)
X(jw)
-B<w<B
根据采样定理，可以对时域采样，只要采样的频率足够高，就可以无失真地将信号还原出来。那么采样对信号的影响是什么呢？从s平面来看，时域的采样将
X(s)
z变换可以看做拉普拉斯变换的一种特殊形式，即做了一个代换
z=e^{sT}
\sigma
2k\pi\le\theta \le 2(k+1)\pi
你会看到前面采样导致的周期延拓产生的条带重叠在一起了，因为具有周期性，所以z域不同的分支的函数值
X(z)
这里讲了时域的采样，时域采样后，信号只有
-f_s/2\rightarrow f_s/2
总结起来说，就是对于一个线性系统，输入输出是线性关系的，不论是线性电路还是光路，只要可以用一个线性方程或线性微分方程（如拉普拉斯方程、泊松方程等）来描述的系统，都可以通过傅里叶分析从频域来分析这个系统的特性，比单纯从时域分析要强大得多！两个著名的应用例子就是线性电路和傅里叶光学（信息光学）。甚至非线性系统，也在很多情况里面使用线性系统的东西！所以傅里叶变换才这么重要！你看最早傅里叶最早也是为了求解热传导方程（那里其实也可以看做一个线性系统）！
傅里叶变换的思想还在不同领域有很多演变，比如在信号处理中的小波变换，它也是采用一组基函数来表达信号，只不过克服了傅里叶变换不能同时做时频分析的问题。
最后，我从纯数学的角度说一下傅里叶变化到底是什么。
还记得线性代数中的代数方程
Ax=b
{v_i,i=1..n}
\lambda_i,i=1..n
x=\Sigma_i x_i v_i, b=\Sigma_i b_i v_i
由于特征向量的正交关系，矩阵的代数方程可以化为n个标量代数方程
\lambda_i x_i = b_i
y'+ay=z(x)
可以验证指数函数
y=e^{sx}
\Lambda y = z
\Lambda y = \lambda y
0000.jpg
归纳起来，就是说傅里叶变换就是线性空间中的一个特殊的正交变换！他之所以特殊是因为指数函数是微分算子的特征函数！
