龚建庆 (数学爱好者  545006)

摘要：经过分析，可以认为，有限小数等有限正数都是常量，无限循环小数等无限正数都是变量，而不是常量；无穷大和无穷小的数都是都是变量。可以类比无穷大的符号∞，用0来代表无穷小的数，来分析有限正数与无穷大∞和无穷小0的关系。

一、无限循环小数等是变量

　　数字，通常是没有方向的。我们讨论序数、负数、数轴、坐标时，实质上可以说是在讨论或处理向量；本文不讨论此类向量，只讨论表示多少的数字，主要是正数。

　　在十进制数字中，有数码0至9；在二进制数字中，则只有数码0和1。可以说，0和1是计数的基础。计数本身与运算是密不可分的：1参与加法运算，得到正整数；正整数参与除法运算，得到分数；正整数参与开方运算，得到开方数。可以说，1通过参与运算形成了神奇的数字王国，用来描述数学对象数量的多少；正整数、分数、开方数都是由1以及变形的1组成的。而0则无法起到同样的作用。

　　十进制数可以说是以10或1/10的乘除为计数单位的一个数串，比如2022.2=2×1000+0×100+2×10+2×1+2×1/10

　　同样，三进制数可以说是以3或1/3的乘除为计数单位的一个数串，比如

　　2022.2=2×27+0×9+2×3+2×1+2×1/3

　　类比以上方法，可以定义以2的平方开方等为计数单位的计数方法，比如

　　2022.2=2×256+0×16+2×4+2×2+2×√2

　　可以说，我们在讨论1/9 、√2等数字时，其实不自觉地运用了不同运算对应的计数方法。而相同的数量在不同的计数方法中，表示的形式可能大相径庭。

　　义务教育教科书数学七年级下册介绍说：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。

在此举一个常见的例子：

1/9=0.111…

分析等式的右边，并改写成如下形式:

0.1+0.01+0.001+ …

　　这是在做无限的加法运算，每加一次 ，数值就会有一次变动；无限加下去，数值不停变动。应当承认，这不是一个常量，而是一个变量。

而通常，我们不认为1/9是一个变量，我们把它当作常量。

如此，等式

1/9=0.111…

是说不过去的。

　　从另一个角度分析 ，在九进制数中，1/9=0.1，不是无限循环小数，而是有限小数。在以2的平方开方为计数单位的计数方法内，√2=0.1，不是无限不循环小数，而是有限小数。这同样说明1/9与无限循环小数，√2 与无限不循环小数并不等同。

　　一般地，我们可以认为，有限小数等有限正数都是常量，无限循环小数等无限正数都是变量，而不是常量。比如111.111是常量，…111.111…是变量 。

　　二、∞本质上是一个变量符号

　　再来分析：

　　1+1+1+…

　　1,2,3, …

　　通常认为，如此无限加与不停数数，都会导致无穷大的正整数。

　　同样，一个有限正数无限加，都会得到无穷大的正数，比如：

　　0.1+0.1+0.1+…

　　也可以说成，任何一个大于1的有限正数无限乘，结果是无穷大的正数，比如:

　　11×11×11×…                 

　　显然，无穷大的正数都是变量，而不是常量。

　　与有限正数相比，11×11×11×…与2×2×2×…及…111等的本质是一样的，都是表示很大的正数，且无法以任何一个有限正数来表示，在这个意义上来说，无穷大的符号∞，可以代表这类无穷大的正数。

　　如此，∞本质上是一个变量符号。

　　三、“0”的真相

　　再来分析：

　　0.1×0.1×0.1×…

　　1/11×1/11×1/11×…                   

　　通常认为，如此无限乘，会导致无穷小的正数。

　　或者说，任何一个小于1的有限正数无限乘，结果是无穷小的正数。

　　同样，无穷小的正数都是变量，而不是常量。

　　《数学哲学》[2]介绍一个观点，认为0.999…与1的差是无穷小。

　　具体分析看：

　　0.9=1-0.1  0.99=1-0.01  0.999=1-0.001

　　可以认为

　　0.999…= 1-0.1×0.1×0.1×…

0.111…=  1/9-1/9×0.1×0.1×0.1×…

　　可见，0.999…与1的差是无穷小变量0.1×0.1×0.1×…

　　　　　0.111…与1/9的差是无穷小变量1/9×0.1×0.1×0.1×…

　　与有限正数相比，0.1×0.1×0.1×…与1/9×0.1×0.1×0.1×…的本质是一样的，都是表示很小的正数，且无法以任何一个有限正数来表示；可以类比无穷大的符号∞，把0作为无穷小的符号，来代表这 类无穷小的正数。

　　如此，无穷小的符号0也是一个变量符号。这是不是就是“0”的真相呢？

　　四、有限正数与无穷大∞和无穷小0

　　综上所述，可以认为，1通过参与运算形成了包括有限正数以及无穷大∞和无穷小0的数字王国。 在精确到有限数位的情况下，若a为有限正数，则a与无穷大∞和无穷小0之间有如下规律(对应的逆运算可根据无穷大∞和无穷小0的具体形式分析处理)：

　　0<a<∞

　　a-a=0    a+a+a+…=∞

　　若a<1， 则a×a×a×…=0

　　若a>1， 则a×a×a×…=∞

　　a+0=a    a-0=a    a×0=0    a÷0=∞

　　a+∞=∞  ∞-a =∞  a×∞ =∞  a÷∞ =0

参考文献：[1]义务教育教科书数学七年级下册，北京：人民教育出版社，2012.

          [2]张景中，彭翕成. 数学哲学，武汉:湖北科学技术出版社，2017.

          [3]尤金妮娅. 超越无穷大，北京：中信出版社，2018.

          [4]查尔斯?塞弗.神奇的数字零，海口:海南出版社，2017.