上一节中，我们介绍了0-1背包问题，接下来，我们来学习一下背包问题的其他变形问题，今天要学习的是完全背包问题。

1、简介

有 N 种物品和一个容量为 W 的背包，每种物品都有无限件可用。第 i 种物品的重量是 w[i]，价值是 v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。可以看到，与0-1背包问题不同的地方时，完全背包问题允许一件物品无限次的出现。

2、基本思路

这个问题非常类似于 0-1 背包问题，所不同的是每种物品有无限件。也就是从每 种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取 0 件、取 1 件、取 2 件„„等很多种。如果仍然按照解 01 背包时的思路，令 f[i][w]表示 前 i 种物品恰放入一个容量为 w 的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同 的策略写出状态转移方程，像这样:
f[i][w]=max{f[i-1][w-kw[i]]+kw[i]|0<=kw[i]<=w}
这跟 0-1 背包问题一样有 O(NW)个状态需要求解，但求解每个状态的时间已经不 是常数了，求解状态 f[i][v]的时间是 O(w/w[i])，总的复杂度是超过 O(WN)的。
将 0-1 背包问题的基本思路加以改进，得到了这样一个清晰的方法。这说明 0-1 背包问题的方程的确是很重要，可以推及其它类型的背包问题。但我们还是试图 改进这个复杂度。

3、简单优化

完全背包问题有一个很简单有效的优化，是这样的:若两件物品 i、j 满足 w[i]<=w[j]且 v[i]>=v[j]，则将物品 j 去掉，不用考虑。这个优化的正确性显 然:任何情况下都可将价值小费用高得 j 换成物美价廉的 i，得到至少不会更差 的方案。对于随机生成的数据，这个方法往往会大大减少物品的件数，从而加快 速度。然而这个并不能改善最坏情况的复杂度，因为有可能特别设计的数据可以 一件物品也去不掉。
这个优化可以简单的 O(N^2)地实现，一般都可以承受。另外，针对背包问题而 言，比较不错的一种方法是:首先将费用大于 V 的物品去掉，然后使用类似计数 排序的做法，计算出费用相同的物品中价值最高的是哪个，可以 O(W+N)地完成 这个优化.

4、转化为0-1背包问题

既然 0-1 背包问题是最基本的背包问题，那么我们可以考虑把完全背包问题转化 为 0-1 背包问题来解。最简单的想法是，考虑到第 i 种物品最多选 W/w[i]件，于 是可以把第 i 种物品转化为 W/w[i]件费用及价值均不变的物品，然后求解这个 0-1 背包问题。这样完全没有改进基本思路的时间复杂度，但这毕竟给了我们将 完全背包问题转化为 0-1 背包问题的思路:将一种物品拆成多件物品。
更高效的转化方法是:把第 i 种物品拆成费用为 w[i]2^k、价值为 v[i]2^k 的 若干件物品，其中 k 满足 w[i]*2^k<=W。这是二进制的思想，因为不管最优策略 选几件第 i 种物品，总可以表示成若干个 2^k 件物品的和。这样把每种物品拆成 O(log(W/w[i]))件物品，是一个很大的改进。

但我们有更优的 O(VN)的算法。

5、O(VN)的算法

这个算法使用一维数组，先看伪代码:

   for i=1..N
       for w=0..W
f[w]=max{f[w],f[w-cost]+weight}

你会发现，这个伪代码与0-1背包问题只有 的循环次序不同而已。为什么这样 一改就可行呢?首先想想为什么 0-1背包问题中要按照 w=W..0 的逆序来循环。这是因为 要保证第 i 次循环中的状态 f[i][w]是由状态 f[i-1][w-w[i]]递推而来。换句话 说，这正是为了保证每件物品只选一次，保证在考虑“选入第 i 件物品”这件策 略时，依据的是一个绝无已经选入第 i 件物品的子结果 f[i-1][w-w[i]]。而现 在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件，所以在考虑“加选一件第 i 种物 品”这种策略时，却正需要一个可能已选入第 i 种物品的子结果 f[i][w-w[i]]， 所以就可以并且必须采用 w=0..W 的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立 的道理。

6、完全背包问题Python实现

基于上面的思路，完全背包问题Python实现代码如下：

def solve3(vlist,wlist,totalWeight,totalLength):
    """完全背包问题"""
    resArr = np.zeros((totalWeight)+1,dtype=np.int32)
    for i in range(1,totalLength+1):
        for j in range(1,totalWeight+1):
            if wlist[i] <= j:
                resArr[j] = max(resArr[j],resArr[j-wlist[i]]+vlist[i])
    return resArr[-1]

if __name__ == '__main__':
    v = [0,60,100,120]
    w = [0,10,20,30]
    weight = 50
    n = 3
    result = solve3(v,w,weight,n)
    print(result)