数学世界观（下）

本文包括以下内容：

数学学习框架（第二部分）——第一部分请戳

奥数到底教了什么

数学之“术”，即数学模型。

数学模型是数学世界中很重要的一个部分。

很多人可能认为这是非常专业的概念，但是大家可能没想到，实际上我们从小学开始就要接触到数学模型。

例如，老师上课给我们讲了一道题：小明走路去学校，距离是多少，速度是多少，问要走多久？然后作业变成了火车从广州开到北京，距离是多少，速度是多少，问要开多久？

为什么从走路变成开火车我们也会做？

没错，因为——两道题的数学模型是一样的。

数学模型，就是把问题背后的数学关系抽象出来，以便于我们用数学的方法解答它。

一、它可以帮助我们从特殊到普通地解决同一类型的问题，也就是所谓的“举一反三”。

很多家长在辅导孩子学数学的过程，经常会因为孩子不会“举一反三”急得直跺脚：“稍微变一下就做不出来了，真笨！”

但是却想不到什么好的方法去改善这个问题，以为要依靠多做题成为“举三反一”。

实际上，这是因为孩子没有掌握背后的数学模型。

哪怕是没有学习过模型概念小学生，在做题的时候都会有这种朴素的感觉——从一道题（特殊）总结背后的关系（普通），再用于下一道题（回到特殊）。

但是这种从特殊到普通的抽象方法，必须随着年龄增长才能逐渐掌握（通常在四年级左右开始产生明确的抽象思维，在初一开始成熟），同时需要被正确地引导和教育、不断地练习才能掌握得更好。

（顺便一提，这种能力属于上一篇文章“数学之道”中讨论的范畴）。

二、它可以帮助我们将复杂的问题一步步变形简化直到解决，这是数学考试（尤其是高考）中解决压轴题的必备能力。

这里我想讲一个只有学理科才能get到的冷笑话：

有一个数学家受够了数学，于是前去应聘消防员。面试的时候，消防队长问：

“假设货栈起火了，您怎么办？”

“我把消防栓接到软管上，打开水龙头，把火浇灭。”

队长很满意，又问：

“假如您路过货栈，它没有起火，该怎么办？”

数学家略一思考，“那我就把它点着。”

“太可怕了！”队长大吃一惊，“为什么？”

“那我就把问题化简为一个我已经解决了的问题了”

你没有看错，可能也完全笑不出来，

但是这就是数学家每天都在努力做的一件事：把复杂的问题转化成一个或者多个“已经解决过的问题”来解决它。

这里面，“遇到货栈起火”就是一个模型，它代表一类已经有固定的解决方法的问题。

数学模型从虚无缥缈的“道”、高屋建瓴的“法”进入到了具有实操性、实际指导我们解决问题的“术”的层面。

它就像层层分岔、连接树干（数学概念）和树叶（数学问题）之间的枝桠，起着延伸和传递的作用；借助数学模型，我们才可以将实际问题和数学解答连接起来，变成一道道精心设计的数学难题。

数学之“器”，即数学问题。

具体而言，是指解决数学问题的手段和技巧。

对于应试教育而言，解题就是终极目标，在重要考试中交出一张满分的答卷，不枉寒窗十年，刷题千遍。

因此，一直以来，数学被认为是最适合用题海战术的科目。

究其原因，可能有二：

一、解题是部分学生认为通向数学的唯一途径。

相比起历史、政治等可以靠背书；语文、英语可以靠阅读；解题是大部分学生用来靠近那遥不可及的数学知识的救命稻草。

于是无数学子就掉进了“做题——不会——听讲解——似懂非懂——再做题——还不会”的梦魇循环之中去。

二、解题也确实是数学通向部分人的唯一桥梁。

有人说生活中唯一用到数学的时候，就是在市场买菜算价格。像立体几何、微积分这些知识，除了出现在试卷上，与大部分人是一生无缘的。

所以很多人回想起数学，脑海里只剩下在题海中奋力扑腾，终于在高考完毕那一刻被海浪冲刷上岸，只留下口中海水苦涩的味道。

这也是很多人提倡“数学无用论”，认为通过分科可以让学生选择尽早逃离数学“苦海”。

数学是否真的在生活中百无一用，我会有专门的篇幅进行探讨，这里只想分析刷题对提升数学的作用到底有多大。

题海战术，练的乃数学之器

天天打球可以练球感，天天做题也能练出“题感”，对于常规题目的解法、计算形成条件反射。因此在0-70分范围内，题海战术的效果非常显著。

但道家云，以道御器，勿以器害道。有水平、有层次的数学试卷，一定是要求学生道、法、术、器融会贯通，信手拈来的。熟练运用数学之“术”，占15分；透彻理解数学之“法”，占10分；最后5分，必须全面掌握数学之“道”，加上天时地利人和三才合一，可遇不可求。

解题方法是数学的表象，有如树叶之于大树。树之茂盛繁华，见之叶也，实则根也。解题能力是末，思考方法是本，学数学如果舍本逐末，最后唯一的结果只能是本末皆失了。

奥数课程和课内数学区别在哪里呢？

让我再举一道低年级的奥数题为例：

图中有多少根线段？

这道题目的答案与解法都很简单：

解法一（打枪法）：

根据线段左端点（箭头起点）来分，从左到右三个起点分别可以连出3、2、1条线段，一共是3+2+1=6条线段。

解法二（基本线段法）：

根据每个线段由多少个基本线段（最短的线段）组成，可以分为三类，分别有3、2、1条，一共是3+2+1=6条线段。

那么，我们一起来看看，奥数课本编排这么一讲，目的是什么呢？

首先，是领悟“道”，教数学思维。

上面两种方法都用到了分类枚举的思维，这是逻辑思维的一个体现。

分类讲究不重不漏，在每个类别中枚举又需要确定明确次序，两个环节任何一个出了错误，都很可能导致错误的结果。

在讲解这道题时，如果学生不是用上面两个方法之一，或者数的次序不对（从蓝色到红色再到黄色，每个颜色从左到右），我都会尖锐的指出来——答案本身无足轻重，但背后的数学思想却是题目的精髓。

其次，是强调“法”，复习数学概念。

初次接触这道题的学生，常常直观地认为只有3条线段——根据线段的定义（两个端点与之间的直线），线段之上是否有其他端点并不影响。

题目扩宽了对线段的直观认识，同样的情形还会用在数三角形、正方形以及其他题目。

因此，从定义出发，是检验结果的唯一标准。

再次，是掌握“术”，学习数学模型。

学会了这道题的方法，可以如何“举一反三”呢？

首先是增加线段的端点数：

图中有多少根线段？

然后，是变换对象：

图中有多少个三角形？

图中有多少个长方形？

还可以彻底改头换面：

图中的点可以连多少条线？

甚至变成这样：

4个小朋友每两个人之间握一次手，一共握了多少次手？

以上的题目，都可以套用同样的数学模型，这才是举一反三。

最后，才是训练“器”，记住解题方法。

再次遇到同类型的问题，可以列出算式，正确算出答案的能力，对于奥数课来说，只是无心之得，顺便使然。

那我们课内的数学老师，是怎样教这道题的呢？

一、根据教案，选择两种解法的一种，在课上进行讲解（目前采用打枪法的居多，因为易于记忆，但是从数学思维的层面，基本线段法的思想泛用性更强）；

二、让同学们记住1+2+3+……的式子，并掌握端点和式子的关系；

三、让同学们了解数三角形、数长方形也是同样的方法，以便应付题型变化；

四、布置数线段、数三角形、数长方形各一道，数字变化一下，作为练习巩固。

简而言之，奥数教学和课内数学的方法和目标区别在于：

奥数是强调数学之“道”，扎根数学之“法”，活用数学之“术”，落脚数学之“器”，目标是培养具有良好数学素质的人才，并将数学的思维和方法渗透到各个方面；

课内数学是避而不谈“道”，死记硬背“法”，狭隘理解“术”，反复练习“器”，目标是完成既定的教学内容，做对教学大纲内的所有题目。

结论

奥数教育的设计，是为了培养良好的数学思维，训练扎实的数学功底，让学生感受数学之美，数学之妙，绝非简单的超前抢跑，也不是追求刁钻偏门。

从之前的一些小例子，希望读者也能感觉到数学的一题多解、举一反三、融会贯通、深入浅出。

虽然现在不少的教育机构热衷于用老套的课内数学教育方法来教奥数题，旨在机械式地打造出一批会解数学题的“尖子生”，其方式和结果都惨不忍睹。

但瑕不掩瑜，奥数教育依然保留了它一部分的本质——如果不是将“道法术器”一套基本功练下来，很快会后继乏力，绝不可能进入到高层次的奥数学习之中。

所以，学习奥数——当然，不是等同于上奥数课、做奥数题、跻身追求奥赛升学的队伍——对于数学素养和整体素质的培养是相当有益的，无论是泛泛而学还是深入钻研，都会有所收获。

但是，如果目标错了，继而方法也错了，最终南辕北辙，恐怕就会变成“奥数吃人论”的又一名受害者了。

文 / 珊爸@不严肃育儿（ID：T-reading）

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