【题目描述】
Given a stringSand a stringT, count the number of distinct subsequences ofTinS.
A subsequence of a string is a new string which is formed from the original string by deleting some (can be none) of the characters without disturbing the relative positions of the remaining characters. (ie,"ACE"is a subsequence of"ABCDE"while"AEC"is not).
给出字符串S和字符串T，计算S的不同的子序列中T出现的个数。
子序列字符串是原始字符串通过删除一些(或零个)产生的一个新的字符串，并且对剩下的字符的相对位置没有影响。(比如，“ACE”是“ABCDE”的子序列字符串,而“AEC”不是)。
【题目链接】
www.lintcode.com/en/problem/distinct-subsequences/
【题目解析】
这道题目是一道比较基础的动态规划题目，关键问题在理解题意和恰当的设计状态并列出状态转移方程。关于状态的设立，主要还是分析题目的步骤，规划阶段，然后将每个阶段的结束视为一个状态，来进行设立。
对于这道题目，我们不妨设f(i, j)表示S长度为i的前缀和T长度为j的前缀形成的两个字符串在这道题目下的答案是多少，即设S(i)表示S长度为i的前缀，T(j)表示T长度为j的前缀，则f(i, j)表示有多少个S(i)的子序列等价于T(j)。那么我们要求解的答案就可以用f(N, M)来表示，其中N是S的长度，M是T的长度。
那么如何求解f(i, j)呢？这就要牵涉到状态转移方程。
我们的目标是将f(i, j)转化为一个类似的子问题，为了达成这种情况，一种思路枚举与j匹配的最后一个字符，不放设为S的第k个字符（K<=i），则有：
f(i, j) = sum(f(k - 1, j - 1)), 其中k满足1<=k<=i,S[k]=T[j]
从而，将f(i, j)转化为了若干个规模变小（两个参数都变小）的问题，于是就可以列用这样的状态转移方程进行求解：
按照i,j分别从小到大的顺序，依次求解f(i, j)，这样在求解时，就可以确保其依赖的所有子问题都已经得到了求解。
但是这样还并没有达到这道题目的最优复杂度，不难发现，sum(f(k - 1, j - 1)), 1<=k
这样一来，状态转移的复杂度就缩减到了O(1)，加上状态本身的O(NM)的复杂度，总共是O(NM)的复杂度。
【参考答案】
