120. 三角形最小路径和

给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。

相邻的结点 在这里指的是下标与上一层结点下标相同或者等于上一层结点下标 + 1 的两个结点。

例如，给定三角形：

[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

说明：
如果你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题，那么你的算法会很加分。

审题

相邻结点：与 (i, j) 点相邻的结点为 (i + 1, j) 和 (i + 1, j + 1)

分析：
若定义 $f(i,j)$ 为 $(i,j)$ 点到底边的最小路径和，则递归求解公式为： $f(i,j) = min(f(i+1,j)，f(i+1, j+1)) + triangle[i][j]$

由此，我们将任一点的底边的最小路径和，转化成了与该点相邻两点到底边的最小路径和中较小值，再加上该点本身的值。这个本题的 递归解法 就完成了。

方法1：递归

class Solution {
    // 递归
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        if (triangle == null || triangle.size() == 0) {
            return 0;
        }
        return dfs(triangle, 0, 0);
    }
    private int dfs (List<List<Integer>> triangle, int i, int j) {
        if (i == triangle.size()) {
            return 0;
        }
        return Math.min(dfs(triangle, i + 1, j), dfs(triangle, i + 1, j + 1)) + triangle.get(i).get(j);
    }
}

暴力搜索会有大量的重复计算，导致超时，因此在 方法2 中结合 记忆化数组 进行优化。

方法2：递归 + 记忆化

在方法1 的基础上，定义了二维数组进行记忆化。

class Solution {
    // 递归 + 记忆化
    private Integer[][] memo;
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        if (triangle == null || triangle.size() == 0) {
            return 0;
        }
        memo = new Integer[triangle.size()][triangle.size()];
        return dfs(triangle, 0, 0);
    }
    private int dfs (List<List<Integer>> triangle, int i, int j) {
        if (i == triangle.size()) {
            return 0;
        }
        if (memo[i][j] != null) {
            return memo[i][j];
        }
        return memo[i][j] = Math.min(dfs(triangle, i + 1, j), dfs(triangle, i + 1, j + 1)) + triangle.get(i).get(j);
    }
}

时间复杂度： $O(N^2）$ ， $N$ 为三角形的行数。
空间复杂度： $O(N^2）$ ， $N$ 为三角形的行数。

方法3：动态规划

定义二维 dp 数组，将方法2 中「自顶向下的递归」改为「自底向上的递推」

1. 定义状态：

$dp[i][j]$ 表示从点 $(i,j)$ 到底边的最小路径和。

2. 状态转移：

$dp[i][i] = min(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]) + triangle[i][j]$

3. 代码实现：

class Solution {
    // 动态规划
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int n = triangle.size();
        // dp[i][j] 表示坐标（i,j) 到底边的最小路径和
        int[][] dp = new int[n+1][n+1];
        // 从三角形底部开始遍历
        for (int i = n - 1; i >=0; i--) {
            // 三角形第几行就代表列数有几个
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
        }
        return dp[0][0];
    }
}

时间复杂度： $O(N^2）$ ， $N$ 为三角形的行数。
空间复杂度： $O(N^2）$ ， $N$ 为三角形的行数。

4. 空间优化

在上述代码中，我们定义了一个 $N$ 行 $N$ 列的 $dp$ 数组（N 是三角形的行数）。
但是在实际递推中我们发现，计算 $dp[i][j]$ 时，只用到了下一行的 $dp[i+1][j]$ 和 $dp[i+1][j+1]$ 。
因此 $dp$ 数组不需要定义 $N$ 行，只要定义 $1$ 行就可以了。
所以，我们稍微修改一下上述代码，将 $i$ 所在的维度去掉，就可以将 $O(N^2）$ 的空间复杂度优化成 $O(N)$

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int n = triangle.size();
        int[] dp = new int[n + 1];
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
        }
        return dp[0];
    }
}

时间复杂度： $O(N^2）$ ， $N$ 为三角形的行数。
空间复杂度： $O(N）$ ， $N$ 为三角形的行数。

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