作者：亚马逊的蝴蝶（Butterfly_of_Amazon）

上一篇文章《爱因斯坦和玻尔的争论最后谁赢了》中，物理学家们按照贝尔指出的方向做了大量的实验，实验结果指向爱因斯坦是错的。
写文章的过程也是我对贝尔不等式逐步理解深入的过程。文章成稿后，我意识到还有个问题必须要解释清楚，而这个问题，在我看过的其它科普文章中都没有提及。

按照哥本哈根学派的观点，测量不可避免地会对测量对象产生干扰。那么，贝尔不等式实验中的测量会对测量对象产生影响吗？这些影响是否会导致贝尔不等式的限制被突破？

一、贝尔不等式实验中，测量会对测量对象产生影响吗？

克里斯·伯恩哈特(Chris Bernhardt) 著的《人人可懂的量子计算》，第一章第3节（“不同方向的测量”）中描述了斯特恩—革拉赫装置对原子自旋状态的改变，大致过程是：将两个斯特恩—革拉赫装置前后放置，均将磁场设定为竖直方向，则在第一个装置中向上偏转的原子束在经过第二个装置时还将向上偏转，向下偏转的原子束在经过第二个装置时还将向下偏转。如果在两个装置之间增加一个磁场为水平方向的斯特恩—革拉赫装置，则在第一个装置中向上或下偏转的原子束，经过新增装置时会分裂为向左和向右偏转的两束原子，这些原子在通过第三个装置时，将一半向上、一半向下偏转，而不是均向上或均向下偏转。可见中间那个装置对原子的自旋状态产生了影响。

我虽然没有使用过斯特恩—革拉赫实验装置，但对这点有类似的体会。玩过光学偏振镜片的人都知道一个有趣的现象：把两个偏振镜片顺着一个偏振方向前后叠在一起，可以看到两个镜片的透光度很好，然后慢慢旋转其中一个镜片，会看见透光度逐渐降低，当两个镜片的偏振方向垂直时，两个镜片变成了几乎不透光的黑色。

此时在两个镜片之间插入第三个偏振镜片，镜片偏振方向与前后镜片各相差45度，你将惊奇地发现三个镜片竟然变得透光了！(参考文章)

上述两个现象只能用“中间装置对原子自旋和光的偏振产生了影响”来解释。假设原子在通过斯特恩—革拉赫装置前有确定的自旋方向，光子在遇到偏振镜片前有确定的偏振方向（当然这个假设不符合哥本哈根学派的观点），也许是因为部分原子的自旋方向在中间的斯特恩—革拉赫装置的磁场作用下发生了偏转，部分光子的偏振方向被中间的镜片强行“扭转”，或只有测量方向上的“分量”得以通过。虽然原因不是很清楚，但结论是肯定的：贝尔不等式实验中，测量确实会对测量对象产生影响。

二、测量影响是否会导致贝尔不等式的限制被突破？

这个问题实际是在问：假定爱因斯坦所相信的“纠缠状态的两个粒子在分离的瞬间，已经'约定好'之后的行为”是正确的，在存在测量影响的情况下，由上一篇文章中的表1（见下表）是否依然能够推导出贝尔不等式？

表1

在经典物理中测量宏观物体时，只要测量方法设计得足够精巧，对物体的影响就可以控制在很微小的范围内，就可以用测量结果来描述测量对象，为求严谨，顶多加一句“误差在某某范围内”。而对于量子世界，却只能说测量结果是什么，不能说测量对象的某某值是什么，因此这个问题无法从误差角度分析，还得从概率入手。

我们先来看Ax与By的相关率P_xy。

上一篇文章说：按照爱因斯坦的观点，对于两个纠缠状态的电子A和B，由于测量前电子在x、y、z方向上已经有确定的自旋方向，考虑到在相同方向上B的自旋测量结果与A相反，故A、B自旋的全部组合包含在表1中。

其中，Ax与By的相关率为：
P_xy=N1+N2-N3-N4-N5-N6+N7+N8

假设，测量A电子的装置在测量时，会有 λ_A 几率改变电子自旋方向，测量B电子的装置有 λ_B 几率改变电子自旋方向（严格控制测量影响的情况下，设λ_A、λ_B小于0.5）。按照爱因斯坦的定域性要求，A与B在测量时不存在互相影响，也就是说测量导致A、B的自旋改变不会存在相互协同，因此，将测量带来的影响代入表1中Ax、By，概率分布应符合表2：

表2

表2中，“表1中概率”乘以“测量影响系数”为该行Ax、By值在测量时出现的概率。

设考虑测量影响后的Ax、By相关率为P'_xy，有：
P'_xy 等于将表2中各行的 “表1中概率”、“测量影响系数”、“Ax”、“By”四项之积求和后再乘以“-1”。

计算过程不复杂，这里忽略不写，直接给出结果：
P'_xy = (1 - 2λ_A)(1 - 2λ_B)(N1+N2-N3-N4-N5-N6+N7+N8) = (1 - 2λ_A)(1 - 2λ_B)P_xy

类似，可得：
P'_yz = (1 - 2λ_A)(1 - 2λ_B)P_yz
P'_zx = (1 - 2λ_A)(1 - 2λ_B)P_zx

为简化描述，设λ= (1 - 2λ_A)(1 - 2λ_B)，在上一篇文章推导出的贝尔不等式 |P_zx - P_yz| ≦ 1 - P_xy 两边乘以 λ，有：
λ |P_zx - P_yz| ≦ λ (1 - P_xy)
因此，|P'_zx - P'_yz| ≦ λ - P'_xy ≦ 1 - P'_xy，即：
|P'_zx - P'_yz| ≦ 1 - P'_xy

这正是贝尔不等式，说明即使考虑测量对电子自旋的影响，测量结果应该依然遵守贝尔不等式 |P'_zx - P'_yz| ≦ 1 - P'_xy （注：表2将测量装置中各个测量方向的λ默认为相等，是为了简化推导，实际情况不一定相等，但可以证明结论依然成立）。

因此可以得出结论：测量所带来的影响不会造成贝尔不等式被突破。上一篇文章中，实验结果突破贝尔不等式与测量无关，在这点上实验不存在缺陷。据此，我还是倾向于相信贝尔不等式实验能证明爱因斯坦关于量子世界定域实在性的观点是错误的。

三、后记

约翰·斯图尔特·贝尔(John Stewart Bell)

其实，要真正理解贝尔不等式实验的意义，建议阅读贝尔的论文原文《On the Einstein-Podolsky-Rosen Paradox》（论EPR佯谬）（论文下载地址）。这篇论文的推导覆盖了定域实在性前提下的各种可能（我在动笔写上一篇文章时还没有充分理解这点）。正因为贝尔不等式的推导过程是严密的，所以实验结果给物理学界带来巨大震动。

贝尔的论文不容易读懂，如果直接按论文翻写科普文章，我无法做到既逻辑严密又通俗易懂，所以只好参考其它科普文章使用表格来表述，虽然不如论文严谨，但这是比较容易看懂且能引导读者理解贝尔不等式含义的方法。我适当增加了一些概念讲解与过程推导，力求在保持通俗性的基础上适度深入，希望对想更深了解爱玻之争的朋友们有帮助。

我写这四篇文章（前三篇链接：1 2 3），起初是为了帮助自己梳理思路，但的确也有无知者无畏的莽撞。我越写越冒汗，深刻感受到量子力学的深奥，想更多地了解它。我已下定决心要啃一啃量子力学的专业课程，在学习完成前，不打算再写关于量子力学的文章了。但愿通过系统的学习，我能够走出迷宫，那时再回来给这四篇文章做一个全面、准确的修订和补遗。

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