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　　我一直在想，人们是如何会为一篇文章点赞的。

　　这样的模型可以有很多种，而且根据不同的心理动因，基本上可以给出看上去毫不相关的好多不同的种类。

　　那么，有没有什么是上述这些东西所共有的呢？

　　或者说，抛开具体的心理动因等具象化因素之后，有没有什么抽象的唯像的范式是可以被保留下来的呢？

　　更重要的是，这样的范式是否可能回答这样的问题：

　　如果有人写了一篇新文章，我如何利用已有的点赞数据，来判断什么样的用户会为它点赞，而什么样的用户不会？

　　嗯，基本上就是因为这类问题，我开始胡诌这篇《点赞动力学》。

　　我们可以畅想，如果掌握了这样的技术的话，那么一个UGC平台就可以更好地为也难用户推荐他们可能喜欢的文章，而不需要过多的编辑了。

　　１

　　点赞的最抽象过程，大概可以这么来描述：

１，所有文章可能的属性构成的集合为T，T中的元素记为T_i，代表了一个可能的属性；

２，一篇文章P具有一个“倾向分布”，记为Q(P,T_i)，其取值范围为[0,1]；

３，一名读者U具有一个“喜好分布”，记为P(U,T_i)，其取值范围为[0,1]；

４，对于一篇指定的文章P和指定的用户U，如果存在某个属性t使Q(P,t)>P(U,t)成立，则该用户U会为文章P点赞。

　　翻译成人话就是：如果一篇文章在某个方面吸引了用户，那用户就会为这篇文章点赞。

　　这么浅显易懂的道理我居然写了这么多废话，可见唠嗑的本领果然不是盖的。

　　当然，实际上上面所说的那些分布都是不可知的——甚至于，作者也不知道自己写的文章到底能分到哪些属性，每个属性的Q值又是多少，而读者也不真的知道自己对哪些属性是感兴趣的，这些属性的P值又是多少。

　　所以，事实上对一个视图回答一开始所提出的问题的平台来说，它所要作的其实是根据每个用户的点赞情况，来反过来逆推上述两类分布P和Q，以及属性集T。

　　这是问题的第一步。

　　当我们将T、P和Q都获取后，面对一篇新出现的文章，如何通过少数几个用户的点赞来确定它的Q'，并根据这个Q'来推荐给合适的用户群{U}就是第二步的问题了。

　　２

　　让我们思考这么一个问题：

　　如果我们已经每篇文章有哪些用户点赞，以及每个用户对哪些文章点赞，然后我们有了一篇问的文章X，并且已经有一定的用户对其点赞了，我们如何判断这篇文章对那些还没点赞的用户来说，到底是否值得推荐？

　　有两类方法可以解决这个问题。

　　一类，我们考虑一个简单的情况，就是只有A和B两个人，总共N篇文章，其中A点赞了P_a篇文章，B点赞了P_b篇文章，其中P_ab篇文章是A和B一起点赞的，那么如果一篇新的文章出现，并且B没有看过，而A已经点赞的话，B看后会点赞的概率就会是P_ab/P_a，而如果A也没有点赞，那么B会点在的概率就是(P_b-P_ab)/(N-Pa)。

　　基于类似的思路，我们可以通过点赞文章的分布来计算出上面所问的那个问题：一伙人点赞后，另一个人点赞的概率等于P_{所有点赞了的用户+指定用户X}/P_{所有点赞了的用户}，其中P_{abc...}表示用户a、b、c等等都点赞了的文章的数量。

　　这个思路的最大问题在于，随着用户人数的增加，文章数的增加，这个计算量是指数级爆发的。我们大概只能在一定共同圈上做截断，比如只计算到三个人共同点赞的文章——这样所需的计算量已经是用户人数的立方了，很不可取。

　　而如果计算的共同点赞用户数比较少，那结果就会很不精确。

　　我们自然可以用各种方法来降低计算量，但所有这些方法都会引入额外的误差，结果就没有保障了。

　　因此，另一个思路就变得很可行了，那就是分析一篇文章和一个用户的兴趣爱好分布，也就是上一小节中所说的P和Q的分布情况，将用户和文章分类，再分析新文章的分类，以分类为基础做推荐。

　　这样的思路的最大问题就是，如上所说的分布的分析很麻烦，但好处是，计算量将不会几何级爆炸。

　　所以，这就是本文最大的兴趣所在了。

　　３

　　我们可以认为，每篇文章都隶属于几个特定的类。

　　一个最自然的类，就是上文中所提到的“属性”了——属性自然就是一种类。

　　但，当我们是通过用户和文章之间的由点赞而建立起来的分布时，我们并不天然地知道属性是什么，所以只能认为地寻找一些合适的分类，使得在这种分类下，通过上述由属性到分布的过程可以得到一个和已知分布接近的分布。

　　为此，我们先要给类下一个明确的定义——

　　如果一篇文章属于类X，而一个用户也属于类X，则该用户有超过一定概率P的可能为该文章点赞。

　　接下来，我们就需要研究各种不同情况下的点赞分布规律。

　　无论是由属性决定的还是由类决定的分布，一篇文章p被用户u点赞的概率平均下来都可以被写为：

　　P(u,p)=1-(1-N_u/T*N_p/T*Q)^T

　　其中T是属性／类总数；N_u是用户所有的属性／类数，N_p是文章所有的属性／类数，Q是在指定分布模式下在特定属性／类中用户的喜好分布值大于文章的倾向属性值的平均概率——对于开头所用的随机分布来说，就是0.5，对于类来说，就是那个P。

　　这四个未知数中，前三个都是彻底未知的，而最后的Q则原则上既可以是系统设定值，也可以是一个未知项，比较灵活。

　　下面来看文章被点赞数的分布，以及用户点赞数的分布，它们将呈现出不一样的分布状态，从而提供更多的信息。

　　以文章p为例，对一篇确定的文章来说，它被特定用户u点击的概率为：

　　P(p,N_u)=1-(1-N_u/T*Q)^N_p

　　其实这个等式就表示全概率1减去特定用户u不会点击该文章p的概率。

　　因此，这篇文章会被n个人点赞的分布就是：

　　P(p,n;N_u)=C(n,N_U)*P(p,N_u)^n*(1-P(p,N_u))^(N_U-n)

　　当然，这个结论是存在问题的，那就是这里我们假定每个用户的P分布都是随机的且相互独立的，而且具有相同的N_u。在现实中，这些条件都无法被满足，只能通过一定的方法做估算，比如可以认为是在某个特定N_u两侧做一定的分布，从而就有：

　　D(N_x)=C(N_x,T)*(N_u/T)^N_x*(1-N_u/T)^(T-N_x)

　　从而一篇特定文章被点赞的数分布就是：

　　Pro(P,n)=Sum(N_x=0~T)[D(N_x)*P(p,n;N_x)]

　　对于特定用户的点赞文章数分布也有类似的结果。

　　因此，我们可以通过分析数据库中的点赞情况，分析出T、N_u和N_p，在差一个待定因子Q的情况下——而如果我们建立以类为划分基础的模型的话，那Q就是一个已知的系统因子。

　　这样，我们原则上就可以通过数据分析来确定一些最大值的系统：T、N_u和N_p

　　这里T是类数，N_u是用户感兴趣类的平均数，而N_p是文章所述类的平均数。

　　接下来，就是最有趣的部分了：通过如上参数来逆向推测出每个类都有哪些文章和用户。