半纯函数的留数给出了复平面周线的同构类划分，把极点视为锚点，围绕极点画闭曲线， 通过周线积分获得等价类的不变量。
这一套流程就是几何形的不变量分解，有意思的地方在于，几何形依赖于函数诱导的空间，可以看做解析流形，不过这里是半纯函数，或许应该称为半纯流形，所谓的解析流形，意味着每点全纯同构于n维复空间，这就是多复变函数理论的内容。最后归结为复几何与复代数几何。
解析函数零点与半纯函数极点本身就很难区分，他们相差一个函数反演，1/f(z)，这种对偶性带来了很多有趣的性质，半纯函数的全纯部分可以给出空间的平凡结构，而全纯反演部分给出了局部性质，整体平凡而局部奇异，但是，这与光滑流形不一样，光滑流形可以实现任意局部拼接，就像几张纸片通过胶带可以流畅的拼在一起，而全纯则是特定的曲面组合起来，不具备任意性，每一个局部都会影响整体。
就像多项式一样，给定了多项式的零点集，多项式就已经被表示出来了，顶多相差一个常数倍，选定首一多项式就是唯一的。
多项式是特殊的全纯函数，一般的全纯函数是对零点集个数的推广，从有限推广到可数无穷。获得无穷乘积展开，其实就是零点展开。
留数定理的主要用意就是分类，通过极点分类区域，但是，不同极点可以获得同样的值就说明分类不完全。
其实完全可以定义一种周线代数，将周线等价类看做元素，周线留数为元素的值，那么对周线的运算等价于对数值的运算，由此，获得积分定义函数的概念，这也是特殊函数论的重要组成部分。特殊函数的积分定义。
积分定义函数很奇异，因为感觉上是离散的，因为都是点的求和，但是，实际上却是连续的，因为无穷个点的求和可以收敛到任意值，所谓的实数，复数的完备性，使用有理点就可以构造逼近任意实数的序列。因此，这一部分也是很有意思的。
积分定义函数还有其他类型，变上限实值函数，这就与周线无关了，毕竟这样的函数本身就有无穷小单位，选取足够接近的自变量，就有足够接近的函数值，也可以视为离散值域与连续值域的区别。
积分定义函数，是对既有函数的划分与累积，划分取决于定义域的拓扑结构，累积决定了函数的局部性质，是测度与赋值的关系。由此而观，是一种拓扑结构数值层的加性理论。
自然的，如果数值层结构简单，函数性质也简单，结构简单意味着可取数值少，只有有限个数值，就是周线积分与留数定理，有可数个数值就是变限积分与完备性。无限化有限，就是对定义域网格化，诱导数值层的网格化。通常的积分就不太行，可以使用泛函积分，每一个局部微调，获得完全不同的积分函数，有点意思，说不定卷积理论可以由此而理解。卷积核为权，获得的积分定义函数。
那么如果想要完全理解积分函数，就必须穷举所有的可能性，又归结为长序列的规律性问题，空间上的函数性质。结果，还是函数图像，绕了一大圈，又回来了。
只不过，此时的函数图像代表了函数的空间性质，需要仔细区分重复，落差，整体，局部，顺序，高低，提取出几种基本模式，然后定义出对应的函数等价类，就能完全理解函数拟合理论的奥秘了。
