20 19-1 1-2 2 星期五 农历十月廿六

#数学——助教老师# -

来自几何的抽象思维课……

学过素描的人,大概都有这样的学习经历:

一来没完没了的练习画直线,然后没完没了的练习画矩形,然后没完没了的练习画圆……

好不容易可以开始画一个“现实”一点的物品,还是要你在定位之后“强行”把被画的物品表示成“线”、“矩形”和“圆”的组合体……而且到最后还要擦去这些“没用”的线条……

(只记得初学绘画的自己,内心无数次吐槽:这不是有病?)

现在,我们再回来看看这个“闲着没事”的过程:

线条的组合构成了矩形,对矩形“切角”形成“多边形”,继续不断的“切角”会逐渐形成一个圆或椭圆。

(事实上,阿基米德在公元前250年发明的圆周率估算方法,就是不断地对一个正多边形“切角”)

而一个实际事物,不管它的结构再复杂,细节再精巧,当我们调用抽象思维时,它们无非就是一个个“直线、矩形、圆”的排列组合罢了。

因此,在我们具备了画出这些“基本图形”的能力之后,再辅以抽象思维,将不再害怕那些看似复杂且难以描绘的事物了——只要一步一步照着流程,由粗略到精细,最后的结果总不会差太多。

这个绘画的流程,其实就是“生成”一幅画的“算法”。

你学的,不是单独画出某一个物体的技术,而是看见任何一类物体,都能将它描绘出来的“算法”。

如果没有“抽象化”和“算法化”,会是什么结果?

你学会画一本书,却不会画一幢高楼……

而在一个具有“抽象思维”的人眼里,二者是等价的啊!



补充一下“平行公理”的另一个表述:“若一直线与两直线相交,且同旁的两角之和小于两个直角,则两直线向该旁延长必定相交。”(看上去很别扭的表述,如此繁冗也成了后世质疑这条公理的原因)——换句话说,如果定义了“同旁内角”,那么这条公理实际上就等价于“同旁内角和等于直线对应的角(180º)”,由此我们可以推出,同位角相等、内错角相等,等等。

在我的印象里,初中数学课教的,一直都是把“同位角相等”当成公理。所以当老师讲内错角定理的证明,隐去了过程中同位角定理证明的时候,我感到十分疑惑。而对着老师给出的平行公理(即“过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行”,也是我印象里初中课本上的经典表述),我又没想出来到底该怎么证明同位角相等,这才去查了平行公理最初的表述,打通了这块内容。想不到一个基础的定理证明,竟让我颇费周折。

从这个细节出发,我意识到,我们为自己搭建的知识体系,或者某种“信念体系”,看似逻辑一环扣一环,但很有可能最初也最基础的那一环,其实是松动的,并不可靠;而我们建立在此之上的思考与推论,就有可能是有漏洞的,甚至是错误的、无意义的。像这样的认知谬误,其实人类历史上并不鲜见,比如“社会达尔文主义”,就源自于对达尔文演化理论的曲解,而这一思想也在后来,造成了非常严重的后果。

由此提醒我们,当遇到与自身认知或信念相悖的事物或观念时,既要探寻对方的逻辑与合理性,也要审视自身的信念与知识体系。因为真正的谬误,可能就存在于,我们所相信的那些基础的东西里,比如常识,或者基本的道德信念,等等。

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