1.是有限集,定义为由所有映射.证明:是一个的函子的object function。evaluation为,它是natural transformation.
函子在所有箭头上的映射定义为。
令。是不变函子。
所以.
5.自然变换定义了一个映射(同样记为),将映为箭头,满足对任意可复合的成立。反过来,每个满足条件的映射,由唯一的满足的自然变换得到。(自然变换的纯箭头描述)
前一半直接画图验证。后一半:显然对应为映射的自然变换需满足,下面验证它是自然变换。在中取,有。同理交换得到,故,是自然变换。
6.所有F上的有限维向量空间构成的范畴,与等价。
在每个向量空间上取一组基,则可用基表示为矩阵。定义函子。对每个正整数,取一个维向量空间,每个矩阵在之前取的那组基下对应一个线性映射。定义函子。易知,定义为到在基的表示下为单位矩阵的线性映射,易知是从到的自然变换。