数据结构与算法——树与二叉树

我们先来熟悉下树与二叉树的概念。

  • 树
    树是n个结点的集合，当n为0时，为空树。当n不等于0时，是非空树，此时树有且仅有一个根结点。
    树的结构如下


    一般树结构.png

树结构中高度、深度以及层数

image.png

  • 二叉树
    二叉树是一种特殊的树，二叉树中每个一个结点最多只有2个子结点，结构如下：
    二叉树.png

    一、特殊的二叉树
    1.满二叉树:除最后一层无任何子节点外，每一层上的所有结点都有两个子结点的二叉树。
    如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1
    满二叉树.png

    2.完全二叉树:如果二叉树中除去最后一层节点为满二叉树，且最后一层的结点依次从左到右分布。则为完全二叉树。
    非完全二叉树与完全二叉树.png

    二、二叉树的性质
    1.在二叉树的第i层上最多有2的i-1次方个结点。
    2.深度为K的二叉树最多有个2的K+1次方-1个结点。
    3.对于任何一颗二叉树，如果其树终点数为n，度为2的结点数为n2,则n = n2+1；
    4.具有n个结点的完全二叉树深度为log2n+1
    5.对具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下，从左到右的顺序对二叉树的所有结点从1开始编码，则对于任意的序号为i的结点有：
    A.如果i>1,那么序号为i的结点双亲结点序号为i/2；
    B.如果i=1，那么序号为i的结点为根结点，无双亲；
    C.如果2i<=n，那么序号为i的结点的左孩子结点序号为2i；
    D.如果2i>n，那么序号为i的结点无左孩子；
    E.如果2i+1<=n，那么序号为i的结点右孩子序号为2i+1；
    F.如果2i+1>n，那么序号为i的结点无右孩子。
    三、二叉树遍历
    ⼆叉树的遍(Traversing binary tree) 是指的从根结点出发,按照某种次序依次访问
    ⼆叉树中所有结点,使得每个结点被访问⼀次且仅被访问⼀次.
    二叉树的遍历方式
    1、前序遍历： 若⼆叉树为空,则空操作返回; 否则先访问根结点,然后前序遍历左⼦树,再前序遍历右⼦树。
    前序遍历.png

    2、中序遍历：若⼆叉树为空,则空操作返回; 否则从根结点开始(注意并不是先访问根结点),中序遍历根结点的左⼦树,然后是访问根结点,最后中序遍历右⼦树。
    中序遍历.png

    3、后续遍历:若⼆叉树为空,则空操作返回; 否则从左到右先叶⼦后结点的⽅式遍历左右⼦树,最后访问根结点。
    后续遍历.png

    4、层序遍历:若⼆叉树为空,则空操作返回; 否则从树的第⼀层,也是就是根结点开始访问,从
    上⽽下逐层遍历,在同⼀层中, 按从左到右的顺序对结点逐个访问。
    层序遍历.png

三、二叉树的顺序存储方式分析
假设分析上图”非完全二叉树与完全二叉树“，以顺序存储是什么样子的呢？
先看完全二叉树，存储为ABCDEF，而非完全二叉树则是ABCDE(null)G.如果是ABCDEG这样会分不清楚是二叉树结点的右树还是左树，先记录根结点然后左到右子结点，再然后是从左到右叶子结点。当一个结点左树为空时，只有个右树，要左树存储的空间为NULL。但是顺序存储有个缺点，例下图

image.png

这样就是浪费了大量的存储空间。
顺序存储方式代码

#include <stdio.h>
#include "stdlib.h"

#include "math.h"
#include "time.h"

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0

#define MAXSIZE 100 /* 存储空间初始分配量 */
#define MAX_TREE_SIZE 100 /* 二叉树的最大结点数 */

typedef int Status;        /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
typedef int CElemType;      /* 树结点的数据类型，目前暂定为整型 */
typedef CElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE]; /* 0号单元存储根结点  */
CElemType Nil = 0;   /*设整型以0为空 或者以 INT_MAX(65535)*/
typedef struct{
    int level;//结点层
    int order;//本层的序号
}Position;
#pragma mark - 二叉树的基本操作
Status visit(CElemType c){
    printf("%d ",c);
    return OK;
}
Status InitBiTress(SqBiTree T){
    for (int i = 0; i<MAXSIZE; i++) {
        T[i] = Nil;
    }
    return OK;
}
Status CreateBiTree(SqBiTree T){
    int i = 0;
    while (i < 10) {
        T[i] = I+1;
        printf("%d",T[I]);
        if (i !=0 && T[(i+1)/2-1]==Nil && T[i]!=Nil) {
            printf("出现无双亲的非根结点%d\n",T[i]);
            exit(ERROR);
        }
        I++;
    }
    while (i<MAXSIZE) {
        T[i] = Nil;
        I++;
    }
    return OK;
}
//判断二叉树是否为空
Status BiTreeEmpty(SqBiTree T){
    if (T[0] == Nil) {
        return TRUE;
    }else{
        return FALSE;
    }
}
//获取二叉树的深度
int BiTreeHeight(SqBiTree T){
    int j = -1;
    int I;
    if (T[0] == Nil) {
        return 0;
    }
    for (i = MAXSIZE -1; i>=0; i--) {
        if (T[i]!=Nil) {
            //记录最后结点的位置
            break;
        }
    }
    do {
        j++;
    } while (pow(2, j)<i);
return j;
}

/*返回处于位置e(层,本层序号)的结点值
 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点(的位置)
 操作结构: 返回处于位置e(层,本层序号)的结点值
 */
CElemType value(SqBiTree T,Position e){
    /*
        Position.level -> 结点层.表示第几层;
        Position.order -> 本层的序号(按照满二叉树给定序号规则)
        */
    printf("%d\n",(int)pow(2, e.level-1));
    printf("%d\n",e.order);
    
    return T[(int)pow(2, e.level)+e.order-1-1];
}
//获取二叉树的根结点
Status Root(SqBiTree T,CElemType *e){
    if (BiTreeEmpty(T)) {
        return ERROR;
    }
    *e = T[0];
    return OK;
}
//给处于位置e的结点赋值
Status Assign(SqBiTree T,Position e,CElemType value){
    //获取结点所处的位置
    int place = (int)pow(2, e.level)+e.order-1-1;
     //叶子结点的双亲为空
    if (value !=Nil && T[(place+1)/2-1]==Nil) {
        return ERROR;
    }
    //给双亲赋空值但是有叶子结点
       if (value == Nil && (T[place*2+1] != Nil || T[place*2+2] != Nil)) {
           return  ERROR;
       }
    T[place] = value;
    return OK;
}
//获取双亲
CElemType Parent(SqBiTree T,CElemType e){
    if (T[0]==Nil) {
        //空树
        return Nil;
    }
    for (int i = 0; i<MAX_TREE_SIZE; i++) {
        if (T[i] == e) {
            return T[(i+1)/2-1];
        }
    }
    return Nil;
}
//获取某个结点的左孩子
CElemType LeftChild(SqBiTree T,CElemType e){
    if (T[0] == Nil) {
        return Nil;
    }
    for (int i = 0; i < MAX_TREE_SIZE; i++) {
        if (T[i] == e) {
            return T[2*i+1];
        }
    }
    return Nil;
}
//获取某一个结点的右孩子
CElemType rightChild(SqBiTree T,CElemType e){
    if (T[0] == Nil) {
        return Nil;
    }
    for (int i = 0; i < MAX_TREE_SIZE; i++) {
        if (T[i] == e) {
            return T[2*i+2];
        }
    }
    return Nil;
}

四、二叉树的链式存储方式

#include "string.h"
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"

#include "math.h"
#include "time.h"

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0

/* 存储空间初始分配量 */
#define MAXSIZE 100
/* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
typedef int Status;

#pragma mark--二叉树构造
int indexs = 1;
typedef char String[24]; /*  0号单元存放串的长度 */
String str;
Status StrAssign(String T,char *chars)
{
    int I;
    if(strlen(chars)>MAXSIZE)
        return ERROR;
    else
    {
        T[0]=strlen(chars);
        for(i=1;i<=T[0];I++)
            T[i]=*(chars+i-1);
        return OK;
    }
}

#pragma mark--二叉树基本操作

typedef char CElemType;
CElemType Nil=' '; /* 字符型以空格符为空 */
typedef struct BiTNode  /* 结点结构 */
{
    CElemType data;        /* 结点数据 */
    struct BiTNode *lchild,*rchild; /* 左右孩子指针 */
}BiTNode,*BiTree;

/*7.1 打印数据*/
Status visit(CElemType e)
{
    printf("%c ",e);
    return OK;
}

/* 7.2 构造空二叉树T */
Status InitBiTree(BiTree *T)
{
    *T=NULL;
    return OK;
}

/* 7.3 销毁二叉树
 初始条件: 二叉树T存在。
 操作结果: 销毁二叉树T
 */
void DestroyBiTree(BiTree *T)
{
    if(*T)
    {
        /* 有左孩子 */
        if((*T)->lchild)
            DestroyBiTree(&(*T)->lchild); /* 销毁左孩子子树 */
        
        /* 有右孩子 */
        if((*T)->rchild)
            DestroyBiTree(&(*T)->rchild); /* 销毁右孩子子树 */
        
        free(*T); /* 释放根结点 */
        
        *T=NULL; /* 空指针赋0 */
    }
}
#define ClearBiTree DestroyBiTree

/*7.4 创建二叉树
 按前序输入二叉树中的结点值(字符),#表示空树;
 */
void CreateBiTree(BiTree *T){
    
    CElemType ch;
    
    //获取字符
    ch = str[indexs++];
    
    //判断当前字符是否为'#'
    if (ch == '#') {
        *T = NULL;
    }else
    {
        //创建新的结点
        *T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
        //是否创建成功
        if (!*T) {
            exit(OVERFLOW);
        }
        
        /* 生成根结点 */
        (*T)->data = ch;
        /* 构造左子树 */
        CreateBiTree(&(*T)->lchild);
        /* 构造右子树 */
        CreateBiTree(&(*T)->rchild);
    }
    
}


/*
 7.5 二叉树T是否为空;
 初始条件: 二叉树T存在
 操作结果: 若T为空二叉树,则返回TRUE,否则FALSE
 */
Status BiTreeEmpty(BiTree T)
{
    if(T)
        return FALSE;
    else
        return TRUE;
}

/*
 7.6 二叉树T的深度
 初始条件: 二叉树T存在
 操作结果: 返回T的深度
 */
int BiTreeDepth(BiTree T){
    
    int i,j;
    if(!T)
        return 0;
    
    //计算左孩子的深度
    if(T->lchild)
        i=BiTreeDepth(T->lchild);
    else
        I=0;
    
    //计算右孩子的深度
    if(T->rchild)
        j=BiTreeDepth(T->rchild);
    else
        j=0;
    
    //比较i和j
    return i>j?i+1:j+1;
}

/*
 7.7 二叉树T的根
 初始条件: 二叉树T存在
 操作结果: 返回T的根
 */
CElemType Root(BiTree T){
    if (BiTreeEmpty(T))
        return Nil;
    
    return T->data;
}

/*
 7.8 返回p所指向的结点值;
 初始条件: 二叉树T存在，p指向T中某个结点
 操作结果: 返回p所指结点的值
 */
CElemType Value(BiTree p){
    return p->data;
}

/*
 7.8 给p所指结点赋值为value;
 初始条件: 二叉树T存在，p指向T中某个结点
 操作结果: 给p所指结点赋值为value
 */
void Assign(BiTree p,CElemType value)
{
    p->data=value;
}

#pragma mark--二叉树遍历
/*
 7.8  前序递归遍历T
 初始条件:二叉树T存在;
 操作结果: 前序递归遍历T
 */

void PreOrderTraverse(BiTree T)
{
    if(T==NULL)
        return;
    printf("%c",T->data);/* 显示结点数据，可以更改为其它对结点操作 */
    PreOrderTraverse(T->lchild); /* 再先序遍历左子树 */
    PreOrderTraverse(T->rchild); /* 最后先序遍历右子树 */
}


/*
 7.9  中序递归遍历T
 初始条件:二叉树T存在;
 操作结果: 中序递归遍历T
 */
void InOrderTraverse(BiTree T)
{
    if(T==NULL)
        return ;
    InOrderTraverse(T->lchild); /* 中序遍历左子树 */
    printf("%c",T->data);/* 显示结点数据，可以更改为其它对结点操作 */
    InOrderTraverse(T->rchild); /* 最后中序遍历右子树 */
}

/*
 7.10  后序递归遍历T
 初始条件:二叉树T存在;
 操作结果: 中序递归遍历T
 */
void PostOrderTraverse(BiTree T)
{
    if(T==NULL)
        return;
    PostOrderTraverse(T->lchild); /* 先后序遍历左子树  */
    PostOrderTraverse(T->rchild); /* 再后序遍历右子树  */
    printf("%c",T->data);/* 显示结点数据，可以更改为其它对结点操作 */
}

int main(int argc, const char * argv[]) {
    // insert code here...
    printf("二叉树链式存储结构实现!\n");
    
    int I;
    BiTree T;
    CElemType e1;
    
    InitBiTree(&T);
    
    StrAssign(str,"ABDH#K###E##CFI###G#J##");
    
    CreateBiTree(&T);
    printf("二叉树是否为空%d(1:是 0:否),树的深度=%d\n",BiTreeEmpty(T),BiTreeDepth(T));
    
    e1=Root(T);
    printf("二叉树的根为: %c\n",e1);
    
    printf("\n前序遍历二叉树:");
    PreOrderTraverse(T);
    
    printf("\n中序遍历二叉树:");
    InOrderTraverse(T);
    
    printf("\n后序遍历二叉树:");
    PostOrderTraverse(T);
    
    printf("\n");
    
    return 0;
}
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