(天津大学,2021; 兰州大学,2021;南昌大学,2021; 南方科技大学,2021; 华南师范大学,2021; 东北大学,2021; 上海财经大学,2021; 西南财经大学,2020; 安徽大学,2020; 西北大学,2020; 华中科技大学,2020)计算行列式
solution
利用升阶法,有
当 时,依次将上述行列式的第 列的 倍加到第一列,就有
另外,根据行列式的运算规则可知 是关于 的多项式,而上式右端也为 的多项式,它 们在 的时候相等,自然在 的时候也相等.即对任意的 ,均有
(华东理工大学,2021)求行列式
solution
当 时,显然 ,且 .当 时,利用升阶法,有
将上述行列式的第 列的 倍加到第一列,就有
明显上式右端的结果对 也成立.
拆分法与递推法
(北京工业大学,2021; 山东师范大学,2021)计算 阶行列式
solution
当 时,显然有 .当 时,将 按照第一列拆为两个行列式,有
那么根据对称性,还有 ,进而
上述两式相减可得
显然上式对 也成立.
(华南师范大学,2020)计算 阶行列式
solution
将 按照第一列展开,可知
设方程 的两个根为
则由韦达定理可知 ,所以(1)式等价于
变形就有
注意到
于是
从而结合(2)(3)式可知
那么(4)式乘以 与(5)式乘以 相减可得