简介：此问题是在做旋转模板匹配的时候，选择最好的匹配结果时产生的。查找资料发现多项式拟合问题可以变成一个超定方程的求解问题，而opencv中本身有一个cv::solve()函数可以求解线性方程组，因此对于大多数用到opencv又要进行曲线拟合的地方都可以参考此处的求解过程来解决。
1. 问题：
原始数据是一些离散的散点，下图是用matplotlib的plot方法画出来的，我想得到下图中最高处附近的近似的曲线方程，以得到一个最大值和最大值对应的横坐标。从下图看，在最高处附近很像一条抛物线，那就用2次函数去拟合最高处附近的曲线看看效果
2. 分析
二次函数的一般形式为,二次函数由
完全决定，这样只需要三组
的数据我们就可以求出
的表达式。例如现在我们获得了三组数据，
,写成方程组的形式就是
求解这个线性方程组就可以得到我们需要的二次方程，很容易求出来。
在实际的情况下我们观测获得的数据并不是绝对准确的，也就是存在偏差，当数据足够多时就可以去除很大一部分随机误差，但是当方程数超过未知数的个数时，怎么求解呢？这就要引入下面超定方程的知识了。
3. 超定方程：
设方程Ax = b.根据有效的方程个数和未知数的个数，可以分为以下3种情况：
rank(A) < n，也就是说方程个数小于未知数的个数，约束不够，方程存在无数组解，
rank(A) = n 方程个数等于未知数的个数， 方程存在唯一的精确解，解法通常有消元法，LU分解法
rank(A) > n，方程个数多于未知数个数，这个时候约束过于严格，没有精确解，这种方程又称之为超定方程。通常工程应用都会遇到这种情况，找不到精确解的情况下，选取最优解，这个最优解，又称之为最小二乘解。
-
超定方程定义：
设方程组 中，
,
是
维已知向量，
是n维解向量，当
,即方程个数大于自变量个数时，称此方程组为超定方程组。
- 最小二乘解的定义：
记 ,称使
最小的解
为方程组
的最小二乘解。
- 定理：
是
的最小二乘解的充要条件是：
是
的解。
4. 二次曲线拟合：
- 待拟合点：angle为横坐标，matchVal为纵坐标。
angle = { -10., -9., -8., -7., -6., -5., -4., -3., -2., -1., 0.,
1., 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9. };
matchVal = { 0.890928, 0.904723, 0.921421, 0.935007, 0.94281 , 0.949828,
0.966265, 0.975411, 0.978693, 0.97662 , 0.974468, 0.967101,
0.957691, 0.958369, 0.949841, 0.932791, 0.9213 , 0.901874,
0.879374, 0.868257 };
- 散点图：
- 数学过程：
设，则
中
,
,
构造，求解此线性方程组就可以得到最小二乘解，也就得到我们需要的二次方程了。
5. python 实现：
import cv2 as cv
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
#%matplotlib
x = np.array([-10., -9., -8., -7., -6., -5., -4., -3., -2., -1., 0.,
1., 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9.], np.float)
y = np.array([0.890928, 0.904723, 0.921421, 0.935007, 0.94281 , 0.949828,
0.966265, 0.975411, 0.978693, 0.97662 , 0.974468, 0.967101,
0.957691, 0.958369, 0.949841, 0.932791, 0.9213 , 0.901874,
0.879374, 0.868257], np.float)
A = np.zeros((len(x), 3)) #构造一个范德蒙德矩阵
A[:,0] = 1
A[:,1] = x
A[:,2] = x**2
c = np.matmul(A.T, A)
d = np.matmul(A.T, y)
_,result = cv.solve(c,d)
y2 = result[0] + result[1]*x + result[2] * (x**2)
plt.grid(True)
plt.xlabel("angle")
plt.ylabel("matchVal")
plt.scatter(x,y)
plt.plot(x,y2)
plt.plot( (-result[1]/result[2]/2,-result[1]/result[2]/2), (0.9,1))
print("拟合方程：f(x) = {} + ({}*x) + ({}*x^2)".format(result[0],result[1],result[2]))
- 输出结果：
拟合方程：f(x) = [0.97301156] + ([-0.00231144]*x) + ([-0.00109041]*x^2)
-
拟合结果：
image.png
6. C++实现：
#include <opencv.hpp>
int fitCurve(std::vector<double> x, std::vector<double> y)
{
//columns is 3, rows is x.size()
cv::Mat A = cv::Mat::zeros(cv::Size(3, x.size()), CV_64FC1);
for (int i = 0; i < x.size(); i++)
{
A.at<double>(i, 0) = 1;
A.at<double>(i, 1) = x[i];
A.at<double>(i, 2) = x[i] * x[i];
}
cv::Mat b = cv::Mat::zeros(cv::Size(1, y.size()), CV_64FC1);
for (int i = 0; i < y.size(); i++)
{
b.at<double>(i, 0) = y[i];
}
cv::Mat c;
c = A.t() * A;
cv::Mat d;
d = A.t() * b;
cv::Mat result = cv::Mat::zeros(cv::Size(1, 3), CV_64FC1);
cv::solve(c, d, result);
std::cout << "A = " << A << std::endl;
std::cout << "b = " << b << std::endl;
std::cout << "result = " << result << std::endl;
double a0 = result.at<double>(0, 0);
double a1 = result.at<double>(1, 0);
double a2 = result.at<double>(2, 0);
std::cout << "对称轴：" << -a1 / a2 / 2 << std::endl;
std::cout << "拟合方程：" << a0 << " + (" << a1 << "x) + (" << a2 << "x^2)";
return 0;
}
int main()
{
double a[] = { -10., -9., -8., -7., -6., -5., -4., -3., -2., -1., 0.,
1., 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9. };
double b[] = { 0.890928, 0.904723, 0.921421, 0.935007, 0.94281 , 0.949828,
0.966265, 0.975411, 0.978693, 0.97662 , 0.974468, 0.967101,
0.957691, 0.958369, 0.949841, 0.932791, 0.9213 , 0.901874,
0.879374, 0.868257 };
std::vector<double> x;
std::vector<double> y;
for (int i = 0; i < (sizeof(a) / sizeof(a[0])); i++)
{
x.push_back(a[i]);
y.push_back(b[i]);
}
fitCurve(x, y);
return 0;
}
- 输出：
A = [1, -10, 100;
1, -9, 81;
1, -8, 64;
1, -7, 49;
1, -6, 36;
1, -5, 25;
1, -4, 16;
1, -3, 9;
1, -2, 4;
1, -1, 1;
1, 0, 0;
1, 1, 1;
1, 2, 4;
1, 3, 9;
1, 4, 16;
1, 5, 25;
1, 6, 36;
1, 7, 49;
1, 8, 64;
1, 9, 81]
b = [0.8909280000000001;
0.9047230000000001;
0.921421;
0.935007;
0.94281;
0.949828;
0.966265;
0.975411;
0.978693;
0.97662;
0.974468;
0.967101;
0.957691;
0.958369;
0.949841;
0.932791;
0.9213;
0.901874;
0.879374;
0.8682569999999999]
result = [0.9730115624060149;
-0.002311438482570065;
-0.001090408407382091]
对称轴：-1.0599
拟合方程：0.973012 + (-0.00231144x) + (-0.00109041x^2)
可以和python实现版对照着看最后拟合的方程是一样的！完美！
参考：
超定方程理论参考：https://blog.csdn.net/u014652390/article/details/52789591
