1.3求根之牛顿迭代法

前言

今天我们讲的是具有收敛速度快，能求重根的解方程之法，牛顿迭代法。

（一）牛顿迭代法的分析

1.定义

迭代公式如下：
$x_{k+1} = x_k-\frac{f(x_k)}{f\prime(x_k)} (k=0,1,2...)$
迭代函数是：
$\varphi(x) = x_k-\frac{f(x_k)}{f\prime(x_k)}$
由于 $\varphi(x)= x_k-\frac{f(x_k)}{f\prime(x_k)}$ 与原方程 $f(x)=0$ 等价。

当 $k\rightarrow \infty$ 时， $x_k$ 就是 $f(x)=0$ 的近似解。

该方法称为牛顿迭代方法。

2.条件

f(x)函数是连续可导函数。

f(x)在局部收敛，当 $f(x) \times f\prime\prime(x)>0$ 时，局部收敛。

注意：牛顿迭代法的局部收敛性，很依赖于初始值的取法。

也就是说，初始值的选取，决定该区域的收敛性。

3.思想

其总思想还是迭代的方法，只是其迭代公式是由泰勒展开得来的，其利用的是：用切线方程与x轴的交点来近似f(x)与x轴的交点。

4.误差

任然用的是迭代法的误差，前后两次x的差的绝对值与我们给的精度比较。

（二）代码实现

1.算法流程图

牛顿迭代法.jpg

2.源代码

feval()函数

def feval(string, a):
    """
        根据值来计算数学表达式。
    :param string: 含有x未知数的数学表达式
    :param a: 自变量x的具体数值
    :return:  数学表达式的计算结果
    """
    count = string.count("x")
    string = string.replace('x', '%f')
    t = (a, ) * count
    result = eval(string % t)
    return result

float_num()函数

def flaot_num(x, r):
    """
        处理保留几位小数点的函数,四舍五入法
    :param x: 原始数据
    :param r: 误差
    :return: 处理后的数据
    """
    # 处理小数点的位数
    r = str(r)
    if "." in r:
        dian = r.index(".")
        size = len(r[dian + 1:])
        result = round(x, size)
        return result
    elif "e" in r:
        dian = r.index("e")
        size = int(r[dian+2:])
        result = round(x, size)
        return result
    else:
        result = round(x, 0)
        return result

牛顿迭代法

"""
    牛顿迭代法，迭代的思想，不断逼近。
"""
# 求导数需要的库
import sympy as sp
from my_math.func_math import feval, flaot_num


def new_fun(expr, x0, r):
    """
        牛顿迭代法求解方程的根
    :param expr: 代函数表达式
    :param x0: 初始值
    :param r: 误差
    :return: 计算的结果值
    """
    x = sp.Symbol('x')
    k = 0
    # 一阶导与二阶导
    fx_1 = str(sp.diff(expr))
    fx_2 = str(sp.diff(fx_1))
    # 迭代公式
    y = "x-" + "("+expr + ")/(" + fx_1 + ")"

    # 判断收敛性
    if feval(expr, x0)*feval(fx_2, x0) <= 0:
        print("函数处于该点区域不收敛")
        result = None
    else:
        x1 = feval(y, x0)
        x2 = feval(y, x1)

        while abs(x2-x1) > r:
            x1 = feval(y, x2)
            x2 = feval(y, x1)
            k += 1
            print("次数：", k)
            print("x1:", x1)
            print("x2:", x2)

        result = flaot_num(x2, r)
        print("=" * 30)
        print("原始的数据是", x2)
        print("最后的结果是：", result)
    return result


if __name__ == '__main__':
    new_fun("x**4-4*x**2+4", 2, 10**-5)