从问题入手，主要讲理解。

1.什么是傅立叶级数？这个东西从哪里来的？

2.什么又是傅立叶变换？

3.频域和时域的关系？

Q1:

书上讲的很清楚，为了分析线性时不变LTI系统，出发点是将其中的信号表示成一组基本信号的线性组合，便于分析与观察输入和响应的关系来确定系统的特性。 《信号与系统》的一个主要目的就是学习各种方法来更为深入理解分析信号与系统。

第一种分析方法是单位冲激响应的叠加形成的卷积。
第二种就是通过傅立叶级数和傅立叶变换。更为深入..
（1）.傅立叶级数
使LTI系统的信号表示成基本信号的组合，这些基本信号必须有两个性质：

• 1 这些信号能构成相当广泛的一类信号
• 2 LTI系统对这些信号的响应应该十分简单。

以下均以连续时间举例。
发现：
1）复指数信号e^st 在LTI系统中的响应也是一个复指数信号H(S)e^st，复指数信号满足了第二个性质
2）性质一由书上傅立叶级数的收敛可以确定，几乎所有周期信号都可以用傅立叶级数表示（严谨证明自查资料咯）。

因此傅立叶级数核心成立，即可用复指数的线性组合来表示一个周期信号。而复指数由欧拉公式又可以表示成三角函数，即可用正弦和余弦的线性组合构成。
（科普：科学发现正确的顺序是先想到用三角函数来表示，有了欧拉公式后，就改用更为方便的复指数形式了）

关于公式的推导：直接看书，不存在什么难度伐
理解到了后，一些性质什么的都可以印证自己推导咯,虽然好多我也懒直接记的。。

补充：较形象的理解为什么可以由复指数表示 任何波形都可以由正弦（余弦）叠加得到，而复指数形式可以完美替代正余弦。
如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带 90 度角的矩形波来，你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。但是看看下图：

Q2：

讲完了周期函数可以用卷积表示也可以用傅立叶级数表示，那么非周期函数呢？
基本思想：把非周期信号当作一个周期信号在T→无穷大的极限看待
书上的推导过程我觉得很自然哎..然后就阔以表示咯
...性质同上

Q3：

一个信号有频域图有时域图，二者只是同一个东西的不同体现。
而傅立叶变换最屌的地方就在于它可以把在时域和频域之间变换！
以下是图解：

Paste_Image.png

　　在这几幅图中，最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。

我们就可以看一看一个矩形波，在频域里的另一个模样了：

　　这是什么奇怪的东西？
　　这就是矩形波在频域的样子，是不是完全认不出来了？教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想，以及无穷的吐槽，其实教科书只要补一张图就足够了：频域图像，也就是俗称的频谱，就是——

做题中见到频域图 和时域图的关系图就是酱咯~

备注：
傅里叶分析究竟是干什么用的？
　　先说一个最直接的用途。无论听广播还是看电视，我们一定对一个词不陌生——频道。频道频道，就是频率的通道，不同的频道就是将不同的频率作为一个通道来进行信息传输。下面大家尝试一件事：
　　先在纸上画一个 sin（x），不一定标准，意思差不多就行。不是很难吧。
　　好，接下去画一个 sin（3x）+sin（5x）的图形。
　　别说标准不标准了，曲线什么时候上升什么时候下降你都不一定画的对吧？
　　好，画不出来不要紧，我把 sin（3x）+sin（5x）的曲线给你，但是前提是你不知道这个曲线的方程式，现在需要你把 sin（5x）给我从图里拿出去，看看剩下的是什么。这基本是不可能做到的。
　　但是在频域呢？则简单的很，无非就是几条竖线而已。
　　所以很多在时域看似不可能做到的数学操作，在频域相反很容易。这就是需要傅里叶变换的地方。尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分，这在工程上称为滤波，是信号处理最重要的概念之一，只有在频域才能轻松的做到。
　　再说一个更重要，但是稍微复杂一点的用途——求解微分方程。（这段有点难度，看不懂的可以直接跳过这段）微分方程的重要性不用我过多介绍了。各行各业都用的到。但是求解微分方程却是一件相当麻烦的事情。因为除了要计算加减乘除，还要计算微分积分。而傅里叶变换则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法，大学数学瞬间变小学算术有没有。

图片相关来源：傅里叶分析之掐死教程 作者图上水印，精简了一些较难的部分。