《数学之美》

作者是“得到”App专栏《吴军的谷歌方法论》的主理人吴军。

我们每个人都是从小就开始学数学，但是除了少数学霸之外，多数人说起数学，恐怕都会觉得太难、太深奥。而且很多时候，似乎我们的工作也不需要那么多复杂的数学知识。或许你还会发出一个疑问：我并不以数学为生，那我真的需要理解数学吗？

不过有些事实我们无法回避，这个世界属于科学范畴的各种知识，它的底层逻辑，几乎都离不开数学。我们现代生活的方方面面，无论是现实的物质世界，还是虚拟的网络社会，都建立在一个用数学知识为基础的复杂结构里。

《数学之美》这本书最大的价值，是告诉我们，数学是以什么方式定义了我们的世界，数学思维的魅力究竟在哪里。你可以不懂那么多复杂的公式，但如果你理解了数学背后的思维方式，有了感知和理解这个世界的能力，就会进入一个新境界。

这里，我再简要介绍一下本书的作者吴军老师，他先后供职于谷歌和腾讯，是谷歌中日韩文搜索算法的主要设计者。他在谷歌期间领导参与了很多研发项目，擅长用数学的方法来解决通信、信息领域的实际问题，是著名的自然语言处理专家和搜索专家。李开复曾经这样评价这本书说，在吴军的笔下，数学不是我们一般联想到的枯燥深奥的符号，而是实实在在源于生活的有趣现象和延伸。这本书，是送给这个社会和年轻人最好的礼物。

好，接下来我就分三个重点，来给你讲讲这本书的主要内容。

第一，数学的用处都有什么？

第二，数学为什么这么有用？

第三，为什么说数学之美就是简单之美？

第一部分

我们先来看看第一个重点：数学的用处都有什么？

我们现在每天都离不开的手机和电脑，其实本质上也就是各种计算机，要想让它们辅助我们的生活工作，就避免不了让它们处理人类的文字和语言，比如语音文字转换、语言翻译等等，那你知道计算机处理人类的文字、语言背后的原理是什么吗？

其实在很早以前，人们就已经试着用数学来解决文字校验的问题了。我们知道，犹太人信仰犹太教，犹太教的经典是《圣经》中的《旧约》，里面记载着犹太人的历史。可是，《圣经》不是由一个人写成的，它的写作过程经历了好几个世纪，所以之后的作者在补充《圣经》时，就会面临一个问题，那就是怎么在抄写的过程中不出现错误？人的马虎总是难以避免，所以这本应该是一个难题。

但是聪明的犹太人发明了一种方法。他们在抄写《圣经》时，会把每一个希伯来字母对应一个数字，这样，每行或者每列文字加起来都对应一个数，这个数就是这一行或这一列的校验码。这样一来，抄完之后只要对比每行每列的校验码正不正确就行了，如果发现校验码有错，那通过行和列的校验码，也可以很快地定位到抄错的地方。这背后的原理，和我们今天的各种校验也是相同的。

那人类的自然语言该怎么处理呢？在这个问题上，人们曾经走过很多弯路。其实最开始的时候，科学家们按照仿生学的思路，坚持认为，要让计算机学会处理自然语言，就必须像人一样，先让它理解自然语言，让它学会语法。但是后来人们发现，语法规则实在太多，根本没有办法穷尽。因为我们日常用的自然语言其实很复杂，不同的语境，不同的上下文，不同的语序，都会产生完全不同的语义。根据计算，就算覆盖我们平时常用语言的20%，都要写几万条语法，这个工作量就已经是天文数字了。而且写到后面，还会有自相矛盾的语法，为了区分，还要注明什么环境下用什么语法，整个过程无比繁琐。所以让计算机学习语法这一条路，在上个世纪70年代就走到了尽头。

就在人们一筹莫展的时候，数学的威力显示了出来。数学的魅力就在于让复杂的问题简单化。美国著名的计算机科学家贾里尼克领导他的实验室，借助数学中的统计学工具，把当时语言识别的成功率从70%提升到90%，同时让语言识别的规模，从几千个单词上升到几万个单词，让语言识别有了实际应用的可能。听到这儿你可能很疑惑，统计学和自然语言好像没什么关系，它怎么处理自然语言呢？其实贾里尼克的思路很简单，他认为，要判断一个句子正不正确，就要看这个句子出现的可能性的大小，这个可能性用概率来衡量。比如，我们假定第一个句子出现的概率是二分之一，第二个句子出现的概率是千分之一，那第一个句子出现的可能性就比第二个句子大得多，那么从概率的角度来说，第一个句子就更有可能是正确的。

所以接下来我们需要做的事，就是判断一个句子出现的可能性有多大。这时就需要用到“马尔科夫假设”，这个假设是说，假定一个句子里每个词出现的概率，只和前一个词有关，就好比“涨停”这个词，最有可能出现在“股票”这个词之后。那么，只要给计算机量足够大的机读文本，也就是专业人士说的语料库，计算机就能算出来，在一个特定词后面出现某个词的概率。这样，只要把一句话里所有词出现的概率相乘，就是这个句子出现的概率。概率最大的句子，就是最有可能正确的句子。按照这个思路，科学家们成功地让计算机拥有了处理自然语言的能力。

你看，一个用几万条复杂语法解决不了的问题，用数学工具就轻松地解决了，而且效果还要好得多。那除了自然语言，我们今天用手机、用电脑，最常做的一个动作之一就是“搜索”。很多人喜欢点网站上的分类标签，看自己特别感兴趣的新闻。那计算机是怎么给这些新闻分类的呢？这背后的原理也就是数学。这就是我们最开始举的那个例子：余弦定理能帮助新闻网站进行新闻分类。

余弦定理大家中学都学过，你可能忘了，我来跟你复习一下啊。它是一个揭示三角形边角关系的重要数学定理，使用余弦定理，就可以仅凭三角形两个边的向量，计算出这两个边的夹角。向量就是有特定长度和方向的量，可以表示为带箭头的线段。

具体该怎么做呢？一篇新闻里会有很多词，像“之乎者也的”这种虚词，对判断新闻的分类没有太大的意义。而像“股票”“利息”这种实词，是判断新闻分类的重点词。科学家精选了一个词汇表，这里面收录着64000个词，每个词都对应一个编号。他们先把大量文字数据输入计算机，算出每个词出现的次数。

一般来说，出现次数越少的词越有搜索价值，比如“爱因斯坦”“数学之美”；而出现次数越多的词，越没有搜索价值，比如“一个”“这里”等等。根据这个标准，把词汇表里的64000个词都算出各自的权重，越特殊的词权重越大。然后，再往计算机里输入要分类的新闻，计算出这64000个词在这篇新闻里的分布，如果某些词没有在这篇新闻里出现，对应的值就是零，如果出现，对应的值就是这个词的权重。这样，这64000个数，就构成了一个64000维的向量，我们就用这个向量来代表这篇新闻，把它叫做这篇新闻的特征向量。

不同类型的新闻，用词上有不同的特点，比如金融类新闻就经常出现“股票”“银行”这些词，所以不难判断，同类新闻的特征向量会有相似性。这样的话，只要算出不同新闻特征向量之间夹角的大小，就可以判断出它们是不是同一类新闻。这时就要用到余弦定理，来把两则新闻的特征向量之间的夹角算出来。科学家可以人工设定一个值，只要两个向量之间的夹角小于这个值，这两则新闻就可以判定成同一类新闻。你看，一个简单的数学定理，通过科学家们的巧妙应用，再次举重若轻地解决了一个难题。

来给你总结一下这部分的内容。科学家们使用了统计学的方法，用概率的大小判断一个句子的正确性，从而让计算机获得了处理自然语言的能力。而在新闻分类领域里，科学家们用到了余弦定理，来判断新闻的特征向量之间的夹角，从而让计算机能够确定新闻的类别。

那咱们来回答一下这个部分的问题“数学的用处都有什么”。吴军在书中说技术分为“道”和“术”两种，做事的原理和原则是“道”，而做事的具体方法就是“术”。我觉得数学真正的作用，就是让我们掌握“道”。因为从历史的发展来看，所有的“术”都会从独门秘籍到普及再到落伍，就像吴军说的只有掌握了“道”的人才能永远游刃有余。

第二部分

说完了数学的作用，可能有人还是觉得不太服气：没错，数学有时候确实有用，但是人类也不是离不开数学，我不懂数学也可以凭经验来认识世界，来解决问题。有这种观点的人可能不在少数，但吴军在书里告诉我们，很多问题光靠经验累积是没办法解决的，必须要有数学的帮助才能得到答案，这是为什么呢？第二个重点我就给你说说：数学为什么这么有用？

和经验相比，数学能帮助我们的，就是能让我们找到一个正确的数学模型。这有多重要呢？吴军说，只有正确的数学模型，才能把一个大问题的计算复杂度降低，让它变得简单。而经验给我们的模型，常常是错的，那由它总结出来的结论，也就是错的。

比如人类从古时候起，就想弄清楚天上星星的运动规律，因为我们身处地球之上，所以古人们最开始很自然地把地球当成了宇宙的中心。其他的星体，不管是太阳、月亮还是金木水火土这几大行星，在古人的眼里都在围绕地球旋转。这种基本认知就是我们今天常说的“地心说”。但是实际上，除了月亮以外，其他所有星体实际上并不是绕着地球转的，所以这些星体的运动规律，在地球上看来就特别复杂。如果你读过《达芬奇密码》这本书就知道，金星大约每四年，会在天上画一个五角星。

这个轨迹就太复杂了，为了给星体找到一个符合观测经验的运动规律，古代科学家们找了很多方法，其中，最有名的来自古罗马天文学家托勒密。托勒密为了完善地心说，设计了一种大圆套小圆的运动方式，极为精确地计算出了所有行星的运动轨迹。不过这个模型相当复杂，他的这套理论一共用到了40到60个圆形，大圆里面套小圆，你想想，就算今天有了计算机的帮助，我们都很难解出40个套在一起的圆方程。

你看行星的轨迹运行得这么复杂，就是因为数学模型找错了的原因。托勒密的模型就算再精密，再符合当时人们的经验判断，也不能说是正确的数学模型。后来，波兰天文学家哥白尼提出了日心说，德国天文学家开普勒在他的基础上，偶然发现，原来行星绕太阳转不需要大圆套小圆，一个椭圆方程就搞定了。他还通过这个数学模型，总结出了行星围绕恒星运转的开普勒三定律，把星体的运动规律解释得清清楚楚。

而且这个正确的数学模型，还在后来成功地帮科学家找到了海王星。当时法国天文学家布瓦尔发现，天王星的运行轨道和椭圆模型算出来的不太一样。后来科学家直接用数学工具，计算出了吸引天王星偏离轨道的海王星。你看这种未观测先发现的成果，是不可能光凭日常经验得到的。有些由经验带来的先入为主的观念，还会严重阻碍人们对世界本来面目的认识过程。

其实，历史对人类在这方面的教训真不少，吴军还说了一个和我们生活息息相关的例子。有二十年以上打字经历的朋友可能都知道，原来在电脑上打字可是一个技术活儿。当时比较流行的输入法有五笔输入法、双拼输入法、还有全拼输入法，等等。可是到了今天，使用双拼和五笔输入法的人越来越少，而使用全拼的人越来越多，这是为什么呢？

这还是要从人们的固有经验说起。人们一开始总以为，最好的汉字输入法就是最简单的输入法，平均打一个字敲击的键盘次数越少，那这个输入法就越好，但历史又一次证明，这种经验上的直觉并不可靠。比如拼音输入法中的双拼和全拼，在双拼输入法中，每个声母和韵母都只用一个键表示，而全拼输入法则要求打出整个拼音。

比如“ao”这个韵母，在双拼中只需要按“k”这个键，而全拼则需要按“a”和“o”两个键。所以双拼敲击键盘的次数会天然地比全拼短，看起来更高效一些。但吴军说，双拼法看似减少了敲击键盘的次数，但输入一点也不快。为什么呢？因为汉语的声母韵母加起来一共有50多个，但是键盘上只有26个字母键，所以很多韵母就需要共享一个字母键，这就会导致，打字的人要从更多的候选汉字里找到自己想打的字；而且双拼的方法不自然，比全拼多出来一道拆分声母和韵母的过程，你需要背下来哪个韵母是哪个按键；最后，很多南方人分不清前后鼻音和卷平舌音，结果就导致翻了好几页都找不到自己想打的字，其实原因是一开始就打错了声母或者韵母。

这一系列问题都证明，追求更简单高效的双拼输入法，实际效率并不高，五笔输入法也是类似的情况。上世纪90年代时，中国出现的输入法种类一度多达上千种，但这些输入法大多和双拼一样，都把发力点放在了减少敲击次数上，都强调自己是最快的。这个方向就走偏了，到了现在，人们几乎全都抛弃了这些输入法，这一批发明人可以说是全军覆没。

与此同时，全拼输入法得到不断改进。所有汉字全拼的平均长度是2.98，只要能很好地利用上下文的相关性，就能把全拼输入法的平均敲击次数控制在3次以内。那该怎么利用上下文的相关性呢？这里又有人绕过弯路。10年前，人们就是通过不断增加词库，甚至把一整句唐诗当成一个词来解决这个问题。但是统计下来发现，帮助不太大。因为汉语里短字词“一音多字”的情况太多，如果词库非常大，打出来的候选词太多，找到自己想要的那个还是很费时间。吴军说，增大词库，这也是根据经验和直觉的应对方法，就和我们刚刚说的，“在大圆里套小圆，在小圆里套更小的圆”思路一样。

那最好的解决办法是什么呢？就是借助语言模型。这和第一个重点里说的，计算机处理自然语言的思路比较像，都是利用统计学的原理，来计算出一长串拼音转化成文字的最有可能选项，方便使用者直接打出一大段文字。和之前凭经验行动的解决方法相比，这就是更好的数学模型。

总结下这部分的内容。在这个重点里，我们讨论了“数学为什么这么有用”这个问题，答案是数学能帮助我们发现仅凭经验无法发现的规律，找到仅凭经验无法总结出来的办法。比如发现行星围绕恒星运转的事实，比如大幅优化全拼输入法，使之成为最好用的输入法等等。可以说没有数学，我们不可能拥有今天的世界观和生活方式。

第三部分

我们说完了数学的用处，和数学有用的原因，接下来让我们一起回归这本书的标题，来看看吴军认为的“数学之美”所以第三个重点就是，为什么说数学之美就是简单美？

数学公式、数学计算、数学推导的过程可能实际应用起来都很复杂，这也是为什么数学这么难学的原因。但是数学应用背后所包含的数学思想，却总是简单的，这种简单之美，就是吴军一直说的数学之美。

计算机的原理其实就是一个例子，计算机的术很复杂，它一般由大量的精密电路搭建而成，但是计算机的道却很简单，它本质上的逻辑来自简单的不能再简单的布尔代数。布尔代数的运算元素只有0和1两个数字，基本的运算也只有三种，第一种是“与”，也就是英文AND，第二种“或”，也就是OR，第三种是“非”，也就是NOT很好理解。就是这么简单的布尔代数，实际上就是数字电路的基础。所有的数学和逻辑运算，比如加、减、乘、除、乘方、开方，等等，全部都能转化成布尔代数的基本运算。正是靠这一点，人们才用以布尔代数原理为基础的一个个电路，搭建起了现代电子计算机。

再比如，我们刚才介绍的几个例子，让计算机处理自然语言，一条路是成千上万的复杂语法，另一条路是让计算机算概率、找规律，前者科学家们努力了几十年但没什么收获，后者轻轻松松就让计算机处理语言文字的能力大幅提高，数学思想再次化繁为简，用简单的思路解决了复杂的问题。还有我们每天都要用到的全拼输入法，在数学的帮助下输入效率大大提高。而双拼和五笔输入法虽然符合人们对于快速输入的直观认识，但是实际应用困难，效率反而不高，缺乏正确的数学方法，最终结果就是被使用者逐渐抛弃。用吴军的话来说，在现实生活中，真正能够通用的工具，在形式上一定是简单的。一架普通的照相机，不应该要求它的使用者必须精通光圈和快门速度的设置。

“简单之美”说着容易，但其实，连谷歌这样的大公司都曾经犯过“大圆套小圆”的错误。吴军说，他刚到谷歌的时候，发现一些早期的算法根本没有系统的模型和理论基础，大部分软件工程师都是靠直觉来解决问题的。这些错误的模型，也许碰巧几次会有效，就像“地心说”一样，不是也用了几千年吗，但是错误的模型一定会渐渐表现出来负面影响。最终不仅会偏离正确的结果，甚至会把简单的事情搞复杂，最终濒临崩溃。

2006年后，谷歌几乎重写了所有项目的程序，保证了工程的正确性。但是在其他公司，甚至美国的一些挂着高科技头衔的二流IT公司，“大圆套小圆”的情况还是很常见。这就像是一个人有了钱，穿金戴银，但是内在的学问和修养还没提高。吴军说他写这本书，也是希望读者可以通过对IT规律的认识，举一反三地总结、学习和运用自己生活中的规律性，提升自己的境界。

这本书就三个重点来回顾一下

数学到底有什么用？在让计算机处理自然语言时，人们一开始想让计算机学会人类的语法，但后来发现，要写出来的语法不仅数量特别多，而且实际的识别率特别低。后来科学家们在数学统计学工具的帮助下，让计算机计算出句子的出现概率，通过概率的大小来判断正确与否，从而解决了这个难题。在让计算机进行新闻分类时，科学家们也是另辟蹊径，利用新闻中的特征词来构建向量，再使用余弦定理完成了对新闻的分类。数学让我们抓住做事的规律也就是“道”。

那数学为什么这么有用？其实，归根到底是因为数学能帮助我们发现仅凭经验无法发现的规律，找到仅凭经验无法总结出来的办法。比如我们是在数学的帮助下，才发现了行星围绕恒星运转的真正规律。而我们每天使用的全拼输入法，也都是靠着数学的帮助，才让输入效率不断提高。

最后，为什么说数学之美就是简单美？使用数学的方法，“术”可能比较复杂，但是“道”却总是简单的。不管是计算机背后隐含的简单的布尔代数原理，还是使用数学来解决各种问题时体现出的简单思想，都向我们展示出数学之美就是简单美。

看过本书之后，相信你对数学这个古老的学科，又有了进一步的认识。吴军在本书第二版的前言里说，早期的数学远不如今天这么神秘，它和生活的联系特别紧密。但和任何事物一样，数学也在不断地演化，数学家们一方面对自然事实进行总结和归纳，另一方面又不断加上抽象思考，最终让数学变得高深起来。经过几千年这种抽象演化，大家头脑里能想象的数学好像就只剩下数字、符号、公式和定理了。

但吴军通过这本书告诉我们，通过数学的实际应用我们能认识到，事物表面的样子并不一定能反映出真实情况。很多时候，只有在深入了解的基础上，我们才能获得对某件事情的发言权。就好比了解了数学的应用之后，才能摒弃“数学无用论”的观念，才能发现真正的数学之美。

最后，我也要专门为计算机专业的学生或者工程师来介绍一下，为了方便没有相关知识背景的读者阅读，吴军给每个专题都添加上了背景介绍；同时，在一些专题的最后，他还给出了很多“延伸阅读”，这部分是专门给专业的读者来看的。他提到了如何在最热门的技术问题里，比如大数据、深度学习、Google的人工智能中找到数学的解决方法，相关专业的用户也可以延伸阅读。