数观念的建构是一个极其复杂的问题，需要经历漫长的小学阶段，直到12岁左右，儿童的数观念才能再次迈上一个崭新的台阶。12岁以后，儿童才能摆脱具体的活动与实物，能够用纯粹的形式符号来表示式，并能对其进行各种复杂的组合运算，正式告别“算式阶段“，跨入”代数阶段”。
0的位置没有摆棋子，因为它没有图形。几号位置可以摆几个图形，几个图形就摆在第几号位置。
通过游戏活动，我们可以看出，这个阶段的儿童的内在认知结构具有以下几个特点:
一，序结构基本形成。也就是说，给定一组物体，儿童可以根据要求（长短，高矮，粗细，轻重等）进行比较准确的序排序。
二，类结构也基本形成。有的儿童能够按照某个要求对物体进行分类，而且对于性质相近的两个集合的合并运算也能自如操作，但是对于“子类”与“类”的包含关系，暂时还不能理解。
三，数观念基本处于从机械计数向理解性计数过渡的关键期。
与序观念、类观念、数观念对应的日常概念在常生活中会表现出如下几个特征: 一，通过“手指点数”可以准确的计算出一个给定集合的基数。当儿童用手指点数时，他们是将视觉（眼睛）与触觉（手指）配合起来使用的，一旦失去手指的帮助，儿童就只能依靠视觉了。如此一来，认知结构就会（暂时）无法摆脱视觉误差的影响。 二，在适宜的情境中，儿童能够准确的使用序数和基数观念，但是，他们还不能在同一情境中，辨析序数与基数观念。 三，儿童能够较为熟练地操作数目较小的、性质相近的类与类的合并运算。如:儿童知道:3个苹果和5个桃合并之后就是8个水果，但是如果问:3个人和5条狗合并之后等于多少呢？儿童一般就难以作答了。
如果儿童的认知活动是有效的，那它就一定是一个矛盾和冲突得以不断被解决，被超越，且原有旧观念得以不断被重构，被提升的过程。 利用橡皮泥、甲骨文等制造出来的数字，在儿童看来，却是有趣好玩的，甚至还能激发起对他们说有意义的认知冲突。
人类计数需要而创造出数字符号历程一般认为是: 最初的纯粹实物计数（如石子等）、带有初级符号特征的实物计数（如结绳计数，算筹等）、带有实物特征的符号化计数（各民族最初的表示数字的文字，如中国的甲骨文，古巴比伦的楔xie形文字、罗马数字等）、纯粹形式化的阿拉伯数字（古代印度人创造发明的）。这个漫长的历程同时还包括十进制和位值制的发明和创造。 对于学龄初期的儿童来说，只有通过玩游戏，才能真正进入学数学的旅程。也就是说，游戏是第一位的，是目的本身，而认知目标必须是第二位的，是隐性的。如果儿童觉得不好玩，就根本不可能有真正的认知发生。 每一个数字都是有生命的，虽然作为纯粹的阿拉伯数字仍然需要一定程度的模仿，但是，这种模仿本身并不是焦点，它只是一个活泼泼的创造性活动过程中的一个小小的、点缀性的环节而已。 比如数字符号2，它本身的确需要儿童模仿书写，但是与之相连的一个甲骨文“二”——一个由“天”和“地”构成的活生生的象形文字，而且儿童可以像仓颉一样，亲自动手把它创造出来，旁边还可以搭配两个彩泥球。至此，抽象的数字2其实已经不再抽象了，它在一个整体性的、形象直观的系统中被儿童具体直接的领会了。
棋子拆分游戏: 也许儿童已经知道怎样书写“＋”“－”“＝”。但是他们其实并不真正理解这些形式符号的意义，所以我们可以在游戏过程中帮助儿童体会:将两堆棋子合起来的动作可以用“－”表示；从一堆棋子中拿走一部分棋子的动作可以用“－”表示；动作与动作结果之间的关系，可以用“＝”表示。在游戏活动中，儿童首先获得丰富的动作经验；然后，这些动作经验在无意识中不断内化，并逐步建构生成内在的加法观念和减法观念。没有或者缺乏动作经验，而试图直接进入形式化的符号运算系统，是严重违背儿童认知规律的无效教学行为。
在一棵数字树里，不必穷尽所有的加法算式和减法算式。而且一个算式既可以按习惯顺着写，比如2+3＝5。也可以反过来写，如5＝2+3。只要儿童能够结合具体的游戏活动，对自己的算式进行比较清晰的解释即可。
一堆棋子，既可以分成两堆，当然也可以分成三堆，四堆，五堆，六堆……然后可以引导儿童制作有趣的三角形数字盘，四边形数字盘，五边形（或五角星）数字盘等。
对于特殊的双数，还可以引导儿童结合棋子拆分游戏，将其制成如下图所示的数字树；如果不是双数，也可以先将其拆分曾两个相邻的数字，然后再对其中一个双数持续拆分。
所有这些游戏活动，都既有趣好玩，又充满挑战和刺激。一旦玩好了，儿童就能自动且高效地将动作经验逐步内化为抽象的数字观念，以及初步的算术运算观念。
对于低段儿童来说，一定程度的模仿肯定也是不可避免的。关键是，儿童是否不断受到激励，是否总是积极主动地去尝试挑战。
引导儿童建构基数观念，数轴（原点、单位长度、正方向）是一个非常合适的工具。这种安排会让儿童通过几何直观去理解枯燥的科学数观念，以及算术四则运算。
口算题卡强调的是在刺激和反应之间建立正确的条件反射，任何的思考都会浪费时间，而浪费时间就是不好的，甚至是可耻的。也就是说，口算题卡训练不是在引导儿童思考，而是去引导儿童怎样可以避免思考。 只要我们引导儿童走上一条科学合理的数学学习之路，儿童一样可以自动化的处理那些最初的口算问题。而且特别重要的是，儿童并不是通过机械训练抵达自动化的状态，而是因为随着他们头脑中数学认知结构的不断发展与壮大，他们完全能够以省时省力的方式自动化地处理那些最初的小魔怪，从而把精力集中于那些更有趣，更具挑战性的数学思维活动之中。
基数就是集合中物体的个数，所以加法就是两个集合的合并；减法就是一个集合的拆分，或者是比较一个集合的物体个数比另一个集合的物体个数多多少或者少多少。
2＋3等于5，且只能等于5，如此浅显易懂且又确凿无疑的真理，根本没必要讲，而且也没有任何道理可讲。这种看法其实完全是一种成人视角。的确，对于多数成人来说，一方面，我们拥有了比较丰富的生活经验，这些经验可以确保我们深信不疑的接受2+3＝5这样的公理性事实；另一方面，我们的大脑其实已经被格式化了，它使得我们丧失了原初的，对一切新鲜事物都应持有的惊异感。 对于儿童来说，他们的世界差不多还是万物有灵的，他们的思维和他们的生命一样具有高度的敏感性和可能性。 在课程设置中，首先通过甲骨文讲故事、彩泥制作数字，用丝线编制数字多边形等游戏活动，活泼泼的感受和体验每一个数字的生命。然而，儿童通过棋子拆分游戏和在数据线上跳格子的游戏，一方面体会每一个数字的基数特征和序数特征；另一方面，通过积累丰富的动作经验，进而给自己的操作性动作进行命名。带出最初的运算符号。 如:把两堆棋子合并起来的动作命名为＋，或者把在数据线往右跳一格的动作命名为＋1；把从一堆棋子中拿走一部分棋子的动作命名为－，或者把在数据线往左跳一格的动作命名为－1；而＝无非就是对动作操作之前与之后表现出“一样的情形”的命名。最后，儿童通过给每一个加减法（包括混合运算）算式编制一个故事的方式，让算式本身也仿佛具有了生命，而更重要的是，它还与儿童的生活息息相关。
综上所述，儿童不仅创造了数字，而且在具体的情景中发明了加法运算和减法运算，也就是说，在他们的脑海中，已经初步建构生成了科学数观念、加法观念和减法观念。 数字不再是某个物体被强加的名字，而是用来描述物体的量的多少，以及数量与数量之间的关系；加法和减法运算也不再是某种需要机械记忆的结论，而是不仅可以通过具体的操作活动体现出来，而且可以在具体的生活情景中加以灵活运用的计算工具。
形象思维与抽象思维是一组相对的概念，前者往往是具体的，可见的，形象的，丰富的，发散的，而后者往往是形式的，逻辑的，线性的，封闭的。
儿童的思维活动可以分为简单抽象和反省抽象。简单抽象是儿童直接对客观存在的物体的抽象，它可以获得诸如颜色，大小，轻重，软硬等物理性知识；而反省抽象是儿童对自己内在的、已有认知结构或观念的抽象，它可以获得数理逻辑知识。我们正是从反省抽象的角度坚信儿童是能够发明数学，创造数学的。
第一阶段；创造有生命的数字1—5 1.“一”的故事
关于伏羲氏创造太极的传说:天地万物生生不息，简直是不可言说之神奇，他想抒发自己内心的喜悦之情。于是，大笔一挥，画出一横。他将这一横用来表示写神奇的，无法用语言描述的世界。此乃“一”，“一”是通常所说的“太极”。睡着时间的推进，才演变称现在是汉字“一”。慢慢地，它又与阿拉伯数字“1”对应起来了，才有了表示数量的意思。 说身边的一:一个苹果，一个汉堡 用彩泥创造“一”的甲骨文和汉字；用油画棒划出阿拉伯数字“1”，最后，再画出你看见“1”时大脑里出现的事物。
伏羲创造出“太极图”。为了门口表示清楚阴和阳，于是“一分为二”，也就是太极生两仪，即为“二”，也就是天和地——一切“对立”之事物或现象的本质。上边横代表“天”（蓝色捏天），下边横代表“地”（绿色或黄色捏地），后来就逐渐演变成为现在的现在的汉字“二”。世界上所有相对立事物都可以用“二”表示。如:白天和黑夜、男和女、善良和邪恶、真和假……
“二”生“三”:天地人三才并立，它本身的文化内涵很丰富，数身心灵、大脑躯干四肢等。
上边一横代表天，下边一横代表地，中间一横代表盘古。
“四”的意思是两个“天与地”，节奏分明的四季、四边形的书籍、人之四肢很。
伏羲为了把奇妙的世界说得更清楚，把天和地又分了一下，就成了两个天两个地。随着历史长河的流动，最后就变成了现在我们使用的“四”，慢慢地与阿拉伯数字“4”对应起来了。
“五”:天与地的交融，五根手指；五行——金木水火土；将一个苹果横向切开，核仁部分正好构成一个五角星。
五表示的是天地融合在一起的景象，古人认为x就是最大的数字了，后来才慢慢演变成现在的汉字“五”。
“一二三四五”在他们眼里不再是僵化的数字，而是活泼泼的，有生命的存在。这样学数学，能引起儿童的兴趣，激发儿童的认知冲突，让儿童有继续探索的欲望。
第一阶段创造有生命的数字6—10 数量一说，表明了数总是可测的、确定的、形式化的、无生命的；与量对应的是制，即不可测的、混沌的、神秘的、可以感觉到的、非形式化的、有生命的。 1.有生命的数字 （说出甲骨文一——五各表示的意思） 2.“六”的故事
“六”像一个房子，上面部分表示房顶，下面部分表示墙。后来随着岁月的变迁，六就演变成了现在的模样。
3.“七”的故事
古代的人就是用这一横，再加上弯弯曲曲的这一笔，表示一直通向远方，没有尽头，所以七表示的意思就是无穷无尽。
4.“八”的故事
一刀切下去，就分开、分别了。这个形状最初的意思就是分别、别离，表示把物体分开。后来，人们就用这个形状来表示当时他们认为的很大的数“8”（随后书写汉字、阿拉伯数字和圆点）。
5.“九”的故事
九最开始和“久”一个意思，这一笔弯弯曲曲也是没有尽头，因而表示长长久久。
古时候人们认为“九”是一个很大的数字，后来又产生了很多和“九”相关的成语，比如“九五之尊”表示很大的权力，一言九鼎表示很重的分量，九霄云外表示很高等。
6.十的故事
“十”表示一个绳子打一个结，小的那个结就表示“1个一”。另一个绳子较大的结就表示“10个一”，也就是1个“十”。竖着的表示绳子，横着的表示结。
动手操作（捏塑数字）
第二阶段:编织数字图形 第一板块:图形操作 这个圆盘就是我们神奇的世界，是数字1来。 把圆盘一分为二，并用小棉棒试着在圆盘上分一分，在最上面和最底部扎一个小洞，把棉棒插进去。 先摆好棋子，再慢慢地调整位置，直到3颗棋子的远近一样，再用铅笔描上点，用小棒扎进去，最后再用线绕图形。 用相同的方法上面2颗棋子，下面2颗棋子摆出四边形。 把5想象成一个人贴在圆盘上，先放一颗棋子占下位置。你在想想头在这里，当这个人伸开手臂，使手和脚会放在什么位置呢？（绕出五边形和五角星。） 第二板块:展示分享
第三阶段:队列计数游戏（操场） 12个人分一组，按座位分成3个小组。手拉手围成圈，报数:1、2、3，1、2、3 。报3的同学向前一步手拉手（围成四边形、梯形或正方形），如果拉绳子得出正方形。 1、2、3、4，1、2、3、4 报数，报4拉绳子，成为三角形 1、2、3、4、5 报数，报5拉绳子，成为一条线 1、2，1、2报数。报2拉绳子，（六角星是用两个三角形隔一个绕一个绕出来的） 再1、2、3、4报数。报4拉绳子就能形成六边形。 第四阶段:节奏游戏 游戏1: 大家手拉手围成一个圈 走个圆， 师用手打节拍，生按照拍手节奏的快慢调整自己的步子。 1、2、3、4（拍慢拍子），5、6、7、8（打快节奏） 拍重轻重轻节奏，喊口号:1、2、3、4 左脚轻，右脚重。1轻、2重、3轻，4重 左脚重，右脚轻。1重、2轻、3重、4轻 游戏2:10人围成一个圈坐下 从一个孩子开始数1，然后大家轮流数，一直数到30。在数的时候要记住每次轮到你报数时，你报的是几，记不住的同学可以用铅笔写在小纸条或手上，汇报报过的几个数字各是多少:2、12、22；4、14、24（体会单双数）。 10名学生排成一列。从1开始数到10，最后数10的同学赶快跑到第一个位置，再数1（1、2、3；2、3、4，全部按顺序往后数）。 第五阶段:棋子拆分游戏 10个小朋友站成一行，将他们分成两组，可以怎么分（5，5），每个小组（2，3……） 第二版块:棋子拆分游戏。 把10个棋子分成两堆棋子，摆一摆，分一分，并画图表示出拆分的过程。 第三版块:展示写绘作品
第六阶段:数轴游戏——基数与序数 第一板块:对话交流，讨论细则。 一，在卡纸底部写出数字0——10，这11个数字要平均地分布在这张纸的最底部。在量的时候，可以先用点描一下，如果剩下的空隙不够，或者多出了好多，再慢慢地调整。二，用彩色黏土捏出棋子，粘贴在相应的数字上面。 第二板块:动手操作，精彩瞬间 活动1.序数推基数（0是一颗棋子都没有，不能放，故1颗棋子要放在1上面）（第8个图形的位置上面应该摆8颗棋子。） 第二板块:基数推序数 捏6颗棋子应该放在第6个位置。 第三版块:作品展示，评价反馈
第七阶段:跳格子游戏 第一板块:从0开始，1个1个跳，在地面画好数据线，标注0——14 1.师示范:（站在起点0，开始边拍手边说儿歌）:小兔子，跳格子，从0开始往前跳，一次只跳1个格子，预备——跳！（一边跳一边计数）1，2，3，4…… （转身站在14，再说儿歌）小白兔，跳格子，从14开始往回跳，一次只跳一个格子，预备——跳！14，13…… 从0跳到5，你要跳几格 （边跳边说） 从0开始跳6格，你会跳到几？ 2.学生分组跳 男女生分两组跳，每组出一人，同时跳，其余同学跟着一起喊口号，排队依次进行跳格。 第二板块:从0开始2个2个跳 小兔子，跳格子，从0开始往前跳，一次只跳2个格子，预备——跳！（边跳边计数）2，4，6，8……（再往回跳） 第三版块:从0开始，3个3个跳（方法同上，此时没有数字15，引导15的位置）
第四板块:写绘 画一条长长的，直直的线，标上数字，从0开始
第二课时:接力跳格子 第一板块:复习游戏 从0到10来回跳，一次只跳1个格子 第二板块:玩接力跳 小兔子，跳格子，从0往前跳5步，一次只跳1个格子，预备——跳！1，2，3，4，5…… 小兔子跳累了，想先歇一歇，谁愿意帮忙跳一跳呢？ 小鸟，小鸟来帮忙。小鸟，小鸟跳格子，从5开始接力跳，一次只跳一个格子，几次才能跳到10？预备——跳！1，2，3，4，5。用算式表示跳格子的过程5＋5＝10（说出每个数的表示） 10个格子还可以怎么分工跳？跳3格，接着跳7格。算式表示 挑战多种方法 第三版块:写绘展示 把好玩儿的跳格子游戏画出来，并写出相应的算式。
第八阶段:简单混合运算 第一板块:拆分5颗棋子
出示黑板上贴5颗棋子，圈起1颗棋子，并画1个表是拿走的箭头。 我有5颗棋子，分出去1颗，还剩几颗？ 学生摆一摆。用算式写出拆分过程:5－1＝4，4＝5－1。说出算式表示的拆分方法（探索多种方法） 第二板块:挑战6——8
第三版块:根据算式创编故事 给5－1＝4创编数学故事（数学故事不同于语文中的讲故事，并不是一讲故事都要从从前开始，而且语言应该简洁。可以用一两句话概括表达:吃掉了，分出去，扔掉了，丢掉了，融化了，用减法算式来表示。创编情景故事要符合生活中的实际情况。）多种方法创编。
