小结
- 坐标系
- 子空间的维数
- 秩与可逆矩阵定理
坐标系
选择子空间
的一个基代替一个存粹生成集的主要原因是，中的每个向量可以被表示为基向量的线性组合的唯一表示。
假设
是子空间的一组基，对中的每一个向量
，相对于基
的坐标是使
成立的权
，且
中的向量![\boldsymbol{[x]_\beta}=\begin{bmatrix}c_1 \\ \vdots \\ v_p \end{bmatrix}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cboldsymbol%7B%5Bx%5D_%5Cbeta%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7Dc_1%20%5C%5C%20%5Cvdots%20%5C%5C%20v_p%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
称为（相对于）的坐标向量，或的-坐标向量。
设
。因
线性无关，故是
的基。判断是否在中，如果是，求相对于的坐标向量。
解：如果在中，则下面的向量方程是相容的：
如果数
存在，则它们是的-坐标。由行变换得：
~
于是![c_1=2,c_2=3,\boldsymbol{[x]_\beta}=\begin{bmatrix}2 \\ 3\end{bmatrix}](https://math.jianshu.com/math?formula=c_1%3D2%2Cc_2%3D3%2C%5Cboldsymbol%7B%5Bx%5D_%5Cbeta%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D2%20%5C%5C%203%5Cend%7Bbmatrix%7D)
。
注意到虽然中的点也在
中，但它们完全由属于
的坐标向量确定。映射![\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{[x]_\beta}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cboldsymbol%7Bx%7D%5Cmapsto%5Cboldsymbol%7B%5Bx%5D_%5Cbeta%7D)
是使和之间保持线性组合关系的一一映射。我们称这种映射是同构的，且与同构。
一般地，如果
是的基，则映射是使和的形态一样的一一映射（尽管中的向量可能有多余
个元素）。
子空间的维数
非零子空间的维数（用
）是的任意一个基的向量个数。零子空间
的维数定义为零。
空间维数为
，的每个基由个向量组合。中一个经过
的平面是二维的，一条经过的直线是一维的。
矩阵
的秩（记为
）是的列空间的维数。
确定矩阵的秩：
解：行化简称阶梯形：
～
矩阵有3个主元列，因此
定理 14（秩定理）
如果一矩阵有列，则
定理 15（基定理）
设是的维子空间，中的任何恰好由个元素组成的线性无关集构成的一个基。并且，中任何生成的个向量集也构成的一个基。
秩与可逆矩阵定理
定理（可逆矩阵定理（续））
设是一
矩阵，则下面的每个命题与是可逆矩阵的命题等价：
