本章中作者想我们展示了一个更复杂的形式系统—命题演算它的规则如下：
命题演算的所有规则
这个系统给了我们创造语句的规则，那么如何来判定这些语句是定理或者非定理？真值表是一个很好的办法。
之后作者进行了一场灵与肉对话（严谨与马虎的对话），每当严谨认为所有的真定理都应该是禁得起推敲的，马虎则认为所有的规则都被赋予了意义，只要你不怀疑自己，那么所有定理都必须为真。这段对话的意义在于，如果试图用逻辑和推理来维护自己是很困难的。不管你的规则逻辑有多么的严丝合缝，总能被降格为平平无奇的一串语句。
在命题演算过程中，我们会得到很多“元定理”也就是推导，它可以大大加快其他推导过程，但是也会破坏系统的形式性。一个很好的办法是将这些元定理也形式化，但是又有人会考虑“元元定理”，就让它们递归下去吧！
既然如此我们是否可以将所有层次压缩为一个层次？这并不简单，并且对解决上述问题没有帮助，因为总是有一个元理论站在系统之外张望。
尽管一个形式系统有一个大缺陷，但是系统总归是好的，它的规则简单并且很容易扩充形成复杂的系统。
证明是非形式的，日常思维的产物，推导是证明的人造对应物，两者目的相同，但是推导使用逻辑结构去达到目的。
下面我们来看一下矛盾，矛盾时各领域进步主要源泉，数学上因为矛盾产生了无穷级数，人们为了解决矛盾甚至去抛弃系统的一致性和完全性，纯粹去研究人的思维过程。不论如何，只要我们讲命题演算纳入一个更大形式系统，一旦这个系统不完全性和不一致性被暴露出来，人们就能确信，这是这个较大系统的毛病。
