一个自然数除以另一个自然数，商是自然数，并且没有余数。我们就说前一个能被后一个整除，或者前一个能整除后一个。
表示的方法是 a|b
用整除特征，不经过费时费力的除法计算，也可以判断整除。 这就是这一课的学习内容。
奇偶性的概念
2k 2k+1
奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数；偶数±奇数=奇数
多个数相加减的时候，结果由奇数个数决定：奇数个奇数相加之和还是奇数；偶数个奇数之和是偶数。
多个数相乘时，只要有偶数，结果一定是偶数。
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末位系 2,5； 4,25； 8,125； 16,625；
要求用位值原理理解为什么有这个规律。
☆ ☆ 和系 3 9
各位数字之和能不能被3或者9整除
要去能够用分配律和结合律分解算式，推导出这个规律。
abcd＝a×1000＋b×100＋c×10＋d
=a×999+b×99+c×9+a+b+c+d
要求理解 “去九法” “去三法” 快速判断。
☆ ☆ ☆ 差系 7,11,13
截取末三位之前的数字和末三位的数字求差，差能7 11 13 整除，这个数就能被7 11 13整除。原理是 abcd÷13= （a×1001-a+bcd）÷13
只要判断 bcd-a 就可以了。 原理是1001是 7、11、13的公倍数。
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11的专用方法
用奇数位数字之和与偶数位的数字之和来判断。这里用大数减小数就可以了。
☆ ☆ ☆ ☆ 扩展附带：
被11整除的方法可以大数减小数，而判断是否被11整除，余数是多少的时候，就要用“奇数位之和”减去“偶数位之和”了。 奇数之和不够减的时候，可以配上若干个“11”。学习在EXCEL里面使用这个公式来检验 =INT(812/11)&"余"&MOD(812,11)
MOD(（奇数位之和-偶数位之和）÷11) 来判断 不够减的加上若干个11就可以了
☆ ☆ ☆ ☆ 拆分系，某数拆分成互质的两个数，如果能被拆分的两个数分别整除的数，就能被这个数整除。
72=8×9 12=3×4 1001=7×11×13 111=37×3
例题一 ☆☆ 把字母换成适当的数字，使得七位数 A7358BC能被9、25、8整除。
1、用算式谜题的思路，把字母换成方框，方便思考。
2、从末位系着手，因为末位系不牵扯别的数字。
3、枚举出符合25这个条件的末两位，再挑选出符合8这个条件的末三位
4、在用和系规律算出A是多少。
例题三 ☆☆☆ 设六位数N= x1527y，N是4的倍数，而且能被11整除余5，那么这个数字是多少？
步骤1，能被4整除的判断是末两位，y=2或者6 ,72 76 能被4整除
步骤2 当y=2的时候，N-5以后的数字才是11的倍数 x15267 判断 奇数位的和是2+6+5=10 偶数位是x+5+6 当x=10的时候才够减去11成为倍数关系的。 可是x是一位数，所以y=2不成立
步骤3 当y=6的时候 x15276-5 x15271 奇数位的和4 偶数位x+12 x=3的时候 15-4=11
步骤4 315271+5= 315276 所以 x+y =9
例题四 ☆☆☆ 两个四位数 A275 和 275B 相乘，要使他们的乘积能被72整除，求A和B。
1、分析72的特征，不是末位系，不是和系，不是差系，只能是拆分系了。
2、拆成互质的8和9，只要两个数字一个整除8，一个整除9，相乘的结果就能被72整除。
3、我们来看A275，后3位不符合整除8的条件，就把它变成符合被9整除的条件。
4、再把275B 变成符合被8整除的数字。
例题五 ☆☆☆ 两个四位数 A275 和 475B 相乘，要使他们的乘积能被72整除，求A和B。
在所有各位数字不同的五位数中，能被45整除的数字最小是多少？
12690 10395
