图像处理中的数学-从傅里叶变换到滤波器

我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析

一段音乐随着时间变化的震动.

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音乐更直观的理解是这样的：

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图1是音乐在时域的样子，而图2则是音乐在频域的样子。

频率域表示的优势

阿基米德螺线

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$r = a+b\theta$ ,该螺线的间距为 $2\pi b$ 。

标准正弦函数 $y = \sin x$

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频率为 $f = \frac{1}{2\pi}$ ,若以横轴为频率，纵轴为幅值，则频率域图像为

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正弦函数是单一频率，在频域中只需要一根竖线就能表现出来。我们期望的也是将时域的信号转换成一个个单一频率的正弦函数的组合，这样我们就能够在频域中用一根根竖线表示出来，也就完成了从时域到频域的转换。

如果任意波形都可以转化成常数、若干个正余弦函数的线性组合，我们就可以完成时域到频域的转换。用数学公式表达如下面所示：

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于是问题就转化成，对于任意波形，我们能不能找到一组系数 $a_n$ 和 $b_n$ ，使上述等式成立？
法国数学家傅里叶在1807年发表的论文中提出了一个当时非常具有争议性的论断：任何连续周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合而成。

级数展开

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随着频率越来越丰富，合成的波形也越来越接近方波了，当n趋近于无穷大，也就是频谱范围无限大的时候，就可以无限逼近方波了

从频域的角度看

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图像的频率域

做图像处理的人来说，每一副数字图像就是一组信号，也就是说做图像处理相当于就是做的信号处理。对于信号有他的频域特征以及时域特征，连接时域与频域的通道便是傅里叶变换了。

图像频率特性分析
频谱图上的每一个像素点都代表一个频率值，幅值由像素点亮度变码而得。对于一幅图像，图像信号的频率特性如下：

直流分量表示预想的平均灰度
低频分量代表了大面积背景区域和缓慢变化部分
高频分量代表了它的边缘、细节、跳跃部分以及颗粒噪声
振幅描述了图像灰度的亮度
相位决定了图像是什么样子

频率域滤波

低通滤波器：使低频通过而使高频衰减的滤波器
1.被低通滤波的图像比原始图像少尖锐的细节部分而突出平滑过渡部分
2.对比空间域滤波的平滑处理，如均值滤波器
高通滤波器：使高频通过而使低频衰减的滤波器
1.被高通滤波的图像比原始图像少灰度级的平滑过渡而突出边缘等细节部分
2.对比空间域的梯度算子、拉普拉斯算子

低通滤波器示例

原图像.png

频谱图.png

低通.png

恢复图.png

说明：这里的低通滤波，意思就是把频率低的波留下，把频率高的波过滤掉。示意图是经过居中处理的频谱，就是从频谱的中心到四周频率由低到高。示意图表示的是，留下中间低频的，过滤点中心周围高频的部分。我们知道，低频对应的图像中变化不明显的部分，于是，图像就变的非常模糊。这在图像处理中也叫平滑滤波。

高通滤波器示意图