jdk源码解读-集合-HashMap(jdk8)

一.HashMap的由来:

1.array是数组的数据结构,对于随机访问get和set是优势,对于新增和删除是劣势,因为新增和删除要移动数据。

  1. LinkedList链表的数据结构,新增和删除头或尾节点操作是优势,因为不用移动数据。对于随机访问get和set是劣势,因为LinkedList要移动指针。

3.hashmap是上面两者的结合,链表数组,从jdk8开始hashmap是array+链表+红黑树(加快遍历速度)。

二.类关系图:

Java为数据结构中的映射定义了一个接口java.util.Map,此接口主要有四个常用的实现类,分别是HashMap、Hashtable、LinkedHashMap和TreeMap,类继承关系如下图所示:

b001.jpeg

下面针对各个实现类的特点做一些说明:

(1) HashMap:它根据键的hashCode值存储数据,大多数情况下可以直接定位到它的值,因而具有很快的访问速度,但遍历顺序却是不确定的。 HashMap最多只允许一条记录的键为null,允许多条记录的值为null。HashMap非线程安全,即任一时刻可以有多个线程同时写HashMap,可能会导致数据的不一致。如果需要满足线程安全,可以用 Collections的synchronizedMap方法使HashMap具有线程安全的能力,或者使用ConcurrentHashMap。

(2) Hashtable:Hashtable是遗留类,很多映射的常用功能与HashMap类似,不同的是它承自Dictionary类,并且是线程安全的,任一时间只有一个线程能写Hashtable,并发性不如ConcurrentHashMap,因为ConcurrentHashMap引入了分段锁。Hashtable不建议在新代码中使用,不需要线程安全的场合可以用HashMap替换,需要线程安全的场合可以用ConcurrentHashMap替换。

(3) LinkedHashMap:LinkedHashMap是HashMap的一个子类,保存了记录的插入顺序,在用Iterator遍历LinkedHashMap时,先得到的记录肯定是先插入的,也可以在构造时带参数,按照访问次序排序。

(4) TreeMap:TreeMap实现SortedMap接口,能够把它保存的记录根据键排序,默认是按键值的升序排序,也可以指定排序的比较器,当用Iterator遍历TreeMap时,得到的记录是排过序的。如果使用排序的映射,建议使用TreeMap。在使用TreeMap时,key必须实现Comparable接口或者在构造TreeMap传入自定义的Comparator,否则会在运行时抛出java.lang.ClassCastException类型的异常。

对于上述四种Map类型的类,要求映射中的key是不可变对象。不可变对象是该对象在创建后它的哈希值不会被改变。如果对象的哈希值发生变化,Map对象很可能就定位不到映射的位置了。

通过上面的比较,我们知道了HashMap是Java的Map家族中一个普通成员,鉴于它可以满足大多数场景的使用条件,所以是使用频度最高的一个。下文我们主要结合源码,从存储结构、常用方法分析、扩容以及安全性等方面深入讲解HashMap的工作原理。

三.内部实现

搞清楚HashMap,首先需要知道HashMap是什么,即它的存储结构-字段;其次弄明白它能干什么,即它的功能实现-方法。下面我们针对这两个方面详细展开讲解。

存储结构-字段

从结构实现来讲,HashMap是数组+链表+红黑树(JDK1.8增加了红黑树部分)实现的,如下如所示。


b002.jpeg

这里需要讲明白两个问题:数据底层具体存储的是什么?�这样的存储方式有什么�优点呢?
(1) 从源码可知,HashMap类中有一个非常重要的字段,就是 Node[] table,即哈希桶数组,明显它是一个Node的数组。我们来看Node[JDK1.8]是何物。

static class Node<K,V> implements Map.Entry<K,V> {     
          final int hash;   //用来定位数组索引位置
          final K key; V value;
          Node<K,V> next;  //链表的下一个node       
          Node(int hash, K key, V value, Node<K,V> next) { ... }      
          public  final  K getKey(){ ... }
          public final V getValue() { ... }
          public final String toString() { ... }
          public final int hashCode() { ... }
          public final V setValue(V newValue) { ... }
          public final boolean equals(Object o) { ... }
}

Node是HashMap的一个内部类,实现了Map.Entry接口,本质是就是一个映射(键值对)。上图中的每个黑色圆点就是一个Node对象。
(2) HashMap就是使用哈希表来存储的。哈希表为解决冲突,可以采用开放地址法和链地址法等来解决问题,Java中HashMap采用了链地址法。链地址法,简单来说,就是数组加链表的结合。在每个数组元素上都一个链表结构,当数据被Hash后,得到数组下标,把数据放在对应下标元素的链表上。例如程序执行下面代码:
map.put("aa",11);

系统将调用”美团”这个key的hashCode()方法得到其hashCode 值(该方法适用于每个Java对象),然后再通过Hash算法的后两步运算(高位运算和取模运算,下文有介绍)来定位该键值对的存储位置,有时两个key会定位到相同的位置,表示发生了Hash碰撞。当然Hash算法计算结果越分散均匀,Hash碰撞的概率就越小,map的存取效率就会越高。
如果哈希桶数组很大,即使较差的Hash算法也会比较分散,如果哈希桶数组数组很小,即使好的Hash算法也会出现较多碰撞,所以就需要在空间成本和时间成本之间权衡,其实就是在根据实际情况确定哈希桶数组的大小,并在此基础上设计好的hash算法减少Hash碰撞。那么通过什么方式来控制map使得Hash碰撞的概率又小,哈希桶数组(Node[] table)占用空间又少呢?答案就是好的Hash算法和扩容机制。
在理解Hash和扩容流程之前,我们得先了解下HashMap的几个字段。从HashMap的默认构造函数源码可知,构造函数就是对下面几个字段进行初始化,源码如下:

int threshold;         // 所能容纳的key-value对极限
final float loadFactor;   // 负载因子
int modCount; 
int size;

首先,Node[] table的初始化长度length(默认值是16),Load factor为负载因子(默认值是0.75),threshold是HashMap所能容纳的最大数据量的Node(键值对)个数。threshold = length * Load factor。也就是说,在数组定义好长度之后,负载因子越大,所能容纳的键值对个数越多。
结合负载因子的定义公式可知,threshold就是在此Load factor和length(数组长度)对应下允许的最大元素数目,超过这个数目就重新resize(扩容),扩容后的HashMap容量是之前容量的两倍。默认的负载因子0.75是对空间和时间效率的一个平衡选择,建议大家不要修改,除非在时间和空间比较特殊的情况下,如果内存空间很多而又对时间效率要求很高,可以降低负载因子Load factor的值;相反,如果内存空间紧张而对时间效率要求不高,可以增加负载因子loadFactor的值,这个值可以大于1。
size这个字段其实很好理解,就是HashMap中实际存在的键值对数量。注意和table的长度length、容纳最大键值对数量threshold的区别。而modCount字段主要用来记录HashMap内部结构发生变化的次数,主要用于迭代的快速失败。强调一点,内部结构发生变化指的是结构发生变化,例如put新键值对,但是某个key对应的value值被覆盖不属于结构变化。
在HashMap中,哈希桶数组table的长度length大小必须为2的n次方(一定是合数),这是一种非常规的设计,常规的设计是把桶的大小设计为素数。相对来说素数导致冲突的概率要小于合数,具体证明可以参考,Hashtable初始化桶大小为11,就是桶大小设计为素数的应用(Hashtable扩容后不能保证还是素数)。HashMap采用这种非常规设计,主要是为了在取模和扩容时做优化,同时为了减少冲突,HashMap定位哈希桶索引位置时,也加入了高位参与运算的过程。
这里存在一个问题,即使负载因子和Hash算法设计的再合理,也免不了会出现拉链过长的情况,一旦出现拉链过长,则会严重影响HashMap的性能。于是,在JDK1.8版本中,对数据结构做了进一步的优化,引入了红黑树。而当链表长度太长(默认超过8)时,链表就转换为红黑树,利用红黑树快速增删改查的特点提高HashMap的性能,其中会用到红黑树的插入、删除、查找等算法。本文不再对红黑树展开讨论。

功能实现-方法

HashMap的内部功能实现很多,本文主要从根据key获取哈希桶数组索引位置、put方法的详细执行、扩容过程三个具有代表性的点深入展开讲解。

1. 确定哈希桶数组索引位置

不管增加、删除、查找键值对,定位到哈希桶数组的位置都是很关键的第一步。前面说过HashMap的数据结构是数组和链表的结合,所以我们当然希望这个HashMap里面的元素位置尽量分布均匀些,尽量使得每个位置上的元素数量只有一个,那么当我们用hash算法求得这个位置的时候,马上就可以知道对应位置的元素就是我们要的,不用遍历链表,大大优化了查询的效率。HashMap定位数组索引位置,直接决定了hash方法的离散性能。先看看源码的实现(方法一+方法二):

方法一:

static final int hash(Object key) {  //jdk1.8 & jdk1.7
          int h;
          // h = key.hashCode() 为第一步 取hashCode值
          // h ^ (h >>> 16)  为第二步 高位参与运算
         return(key ==null) ?0: (h = key.hashCode()) ^ (h >>>16);
}

这里的Hash算法本质上就是三步:取key的hashCode值、高位运算、取模运算
对于任意给定的对象,只要它的hashCode()返回值相同,那么程序调用方法一所计算得到的Hash码值总是相同的。我们首先想到的就是把hash值对数组长度取模运算,这样一来,元素的分布相对来说是比较均匀的。但是,模运算的消耗还是比较大的,在HashMap中是这样做的:调用方法二来计算该对象应该保存在table数组的哪个索引处。
这个方法非常巧妙,它通过h & (table.length -1)来得到该对象的保存位,而HashMap底层数组的长度总是2的n次方,这是HashMap在速度上的优化。当length总是2的n次方时,h& (length-1)运算等价于对length取模,也就是h%length,但是&比%具有更高的效率。
在JDK1.8的实现中,优化了高位运算的算法,通过hashCode()的高16位异或低16位实现的:(h = k.hashCode()) ^ (h >>> 16),主要是从速度、功效、质量来考虑的,这么做可以在�数组table的length比较小的时候,也能保证考虑到高低Bit都参与到Hash的计算中,同时不会有太大的开销。
下面举例说明下,n为table的长度。

hashMap哈希算法例图.png

2. 分析HashMap的put方法

HashMap的put方法执行过程可以通过下图来理解,自己有兴趣�可以去对比源码更清楚地研究学习。

hashMap put方法执行流程图.png

①.判断键值对数组table[i]是否为空或为null,否则执行resize()进行扩容;

②.根据键值key计算hash值得到插入的数组索引i,如果table[i]==null,直接新建节点添加,转向⑥,如果table[i]不为空,�转向③;

③.判断�table[i]的首个元素是否和key一样,如果相同直接覆盖value,否则转向④,这里的相同指的是hashCode以及equals;

④.判断table[i] 是否为treeNode,即table[i] 是否是红黑树,如果是红黑树,则直接在树中插入键值对,否则转向⑤;

⑤.遍历table[i],判断链表长度是否大于8,大于8的话把链表转换为红黑树,在红黑树中执行插入操作,否则进行链表的插入操作;�遍历过程中若发现key已经存在直接覆盖value即可;

⑥.插入成功后,判断实际存在的键值对数量size是否超多了最大容量threshold,如果超过,进行扩容。

JDK1.8HashMap的put方法源码如下:

 /**
     * Associates the specified value with the specified key in this map.
     * If the map previously contained a mapping for the key, the old
     * value is replaced.
     *
     * @param key key with which the specified value is to be associated
     * @param value value to be associated with the specified key
     * @return the previous value associated with <tt>key</tt>, or
     *         <tt>null</tt> if there was no mapping for <tt>key</tt>.
     *         (A <tt>null</tt> return can also indicate that the map
     *         previously associated <tt>null</tt> with <tt>key</tt>.)
     */
    public V put(K key, V value) {
        return putVal(hash(key), key, value, false, true);
    }
/**
     * Implements Map.put and related methods
     *
     * @param hash hash for key
     * @param key the key
     * @param value the value to put
     * @param onlyIfAbsent if true, don't change existing value
     * @param evict if false, the table is in creation mode.
     * @return previous value, or null if none
     */
    final V putVal(int hash, K key, V value, boolean onlyIfAbsent,
                   boolean evict) {
        Node<K,V>[] tab; Node<K,V> p; int n, i;
        if ((tab = table) == null || (n = tab.length) == 0)
            n = (tab = resize()).length;
        if ((p = tab[i = (n - 1) & hash]) == null)
            tab[i] = newNode(hash, key, value, null);
        else {
            Node<K,V> e; K k;
            if (p.hash == hash &&
                ((k = p.key) == key || (key != null && key.equals(k))))
                e = p;
            else if (p instanceof TreeNode)
                e = ((TreeNode<K,V>)p).putTreeVal(this, tab, hash, key, value);
            else {
                for (int binCount = 0; ; ++binCount) {
                    if ((e = p.next) == null) {
                        p.next = newNode(hash, key, value, null);
                        if (binCount >= TREEIFY_THRESHOLD - 1) // -1 for 1st
                            treeifyBin(tab, hash);
                        break;
                    }
                    if (e.hash == hash &&
                        ((k = e.key) == key || (key != null && key.equals(k))))
                        break;
                    p = e;
                }
            }
            if (e != null) { // existing mapping for key
                V oldValue = e.value;
                if (!onlyIfAbsent || oldValue == null)
                    e.value = value;
                afterNodeAccess(e);
                return oldValue;
            }
        }
        ++modCount;
        if (++size > threshold)
            resize();
        afterNodeInsertion(evict);
        return null;
    }

3. 扩容机制

扩容(resize)就是重新计算容量,向HashMap对象里不停的添加元素,而HashMap对象内部的数组无法装载更多的元素时,对象就需要扩大数组的长度,以便能装入更多的元素。当然Java里的数组是无法自动扩容的,方法是使用一个新的数组代替已有的容量小的数组,就像我们用一个小桶装水,如果想装更多的水,就得换大水桶。

结构:

结构.png

这就是java8的HashMap的数据结构,跟之前版本不一样的是当table达到一定的阀值时,bucket就会由链表转换为红黑树的方式进行存储,下面会做具体的源码分析。

HashMap的put方法实现原理

下面我们来看下关于put的方法,hashMap的Capacity的默认值为16,负载因子的默认值为0.75

final V putVal(int hash, K key, V value, boolean onlyIfAbsent,
                   boolean evict) {
        Node<K,V>[] tab; Node<K,V> p; int n, i;
        //table为空就创建
        if ((tab = table) == null || (n = tab.length) == 0)
            n = (tab = resize()).length;
        //确定插入table的位置,算法是(n - 1) & hash
        if ((p = tab[i = (n - 1) & hash]) == null)
            tab[i] = newNode(hash, key, value, null);
        //在table的i位置发生碰撞,有两种情况,1、key值是一样的,替换value值,
        //2、key值不一样的有两种处理方式:2.1、存储在i位置的链表;2.2、存储在红黑树中
        else {
            Node<K,V> e; K k;
            if (p.hash == hash &&
                ((k = p.key) == key || (key != null && key.equals(k))))
                e = p;
            //2.2
            else if (p instanceof TreeNode)
                e = ((TreeNode<K,V>)p).putTreeVal(this, tab, hash, key, value);
            //2.1
            else {
                for (int binCount = 0; ; ++binCount) {
                    if ((e = p.next) == null) {
                        p.next = newNode(hash, key, value, null);
                        //超过了链表的设置长度8就扩容
                        if (binCount >= TREEIFY_THRESHOLD - 1) // -1 for 1st
                            treeifyBin(tab, hash);
                        break;
                    }
                    if (e.hash == hash &&
                        ((k = e.key) == key || (key != null && key.equals(k))))
                        break;
                    p = e;
                }
            }
            //如果e为空就替换旧的oldValue值
            if (e != null) { // existing mapping for key
                V oldValue = e.value;
                if (!onlyIfAbsent || oldValue == null)
                    e.value = value;
                afterNodeAccess(e);
                return oldValue;
            }
        }
        ++modCount;
        //threshold=newThr:(int)(DEFAULT_LOAD_FACTOR * DEFAULT_INITIAL_CAPACITY);
        //默认0.75*16,大于threshold值就扩容
        if (++size > threshold)
            resize();
        afterNodeInsertion(evict);
        return null;
    }

treeifyBin

请看putVal代码27/28行,当桶bucket大于TREEIFY_THRESHOLD(8)值时就执行treeifyBin,如果是之前java7之前的代码的话是要进行扩容的,但是java8可能会把这个bucket的链表上的数据转化为红黑树

final void treeifyBin(Node<K,V>[] tab, int hash) {
        int n, index; Node<K,V> e;
        //当tab.length<MIN_TREEIFY_CAPACITY(64)是还是进行resize
        if (tab == null || (n = tab.length) < MIN_TREEIFY_CAPACITY)
            resize();
        else if ((e = tab[index = (n - 1) & hash]) != null) {
            TreeNode<K,V> hd = null, tl = null;
            do {
                TreeNode<K,V> p = replacementTreeNode(e, null);
                if (tl == null)
                    hd = p;
                else {
                    p.prev = tl;
                    tl.next = p;
                }
                tl = p;
            } while ((e = e.next) != null);
            if ((tab[index] = hd) != null)
                //存储在红黑树
                hd.treeify(tab);
        }
    }

resize到底做了什么事情,它是怎么扩容的

我们先看下resize这个方法吧,这段代码后面会讲到24行的treeify方法,也是本文的重点红黑树的存储,以为这个方法的实现方式还是有别与java7的,桶中存在一个链表,需要将链表重新整理到新表当中,因为newCap是oldCap的两倍所以原节点的索引值要么和原来一样,要么就是原(索引+oldCap)和JDK 1.7中实现不同这里不存在rehash

final Node<K,V>[] resize() {
        Node<K,V>[] oldTab = table;
        int oldCap = (oldTab == null) ? 0 : oldTab.length;
        int oldThr = threshold;
        int newCap, newThr = 0;
        if (oldCap > 0) {
            if (oldCap >= MAXIMUM_CAPACITY) {
                threshold = Integer.MAX_VALUE;
                return oldTab;
            }
            else if ((newCap = oldCap << 1) < MAXIMUM_CAPACITY &&
                     oldCap >= DEFAULT_INITIAL_CAPACITY)
                newThr = oldThr << 1; // double threshold
        }
        else if (oldThr > 0) // initial capacity was placed in threshold
            newCap = oldThr;
        else {               // zero initial threshold signifies using defaults
            newCap = DEFAULT_INITIAL_CAPACITY;
            newThr = (int)(DEFAULT_LOAD_FACTOR * DEFAULT_INITIAL_CAPACITY);
        }
        if (newThr == 0) {
            float ft = (float)newCap * loadFactor;
            newThr = (newCap < MAXIMUM_CAPACITY && ft < (float)MAXIMUM_CAPACITY ?
                      (int)ft : Integer.MAX_VALUE);
        }
        threshold = newThr;
        @SuppressWarnings({"rawtypes","unchecked"})
            Node<K,V>[] newTab = (Node<K,V>[])new Node[newCap];
        table = newTab;
        if (oldTab != null) {
            for (int j = 0; j < oldCap; ++j) {
                Node<K,V> e;
                if ((e = oldTab[j]) != null) {
                    oldTab[j] = null;
                    if (e.next == null)
                        newTab[e.hash & (newCap - 1)] = e;
                    else if (e instanceof TreeNode)
                        ((TreeNode<K,V>)e).split(this, newTab, j, oldCap);
                    else { // preserve order
                        //分别记录头和尾的节点
                        Node<K,V> loHead = null, loTail = null;
                        Node<K,V> hiHead = null, hiTail = null;
                        Node<K,V> next;
                        do {
                            next = e.next;
                            if ((e.hash & oldCap) == 0) {
                                if (loTail == null)
                                    loHead = e;
                                else
                                    loTail.next = e;
                                loTail = e;
                            }
                            else {
                                if (hiTail == null)
                                    hiHead = e;
                                else
                                    hiTail.next = e;
                                hiTail = e;
                            }
                        } while ((e = next) != null);
                        if (loTail != null) {
                            loTail.next = null;
                            newTab[j] = loHead;
                        }
                        if (hiTail != null) {
                            hiTail.next = null;
                            //把节点移动新的位置j+oldCap,这种情况不适用与链表的节点数大于8的情况
                            //链表节点大于8的情况会转换为红黑树存储
                            newTab[j + oldCap] = hiHead;
                        }
                    }
                }
            }
        }
        return newTab;
    }

HashMap节点红黑树存储

好了终于到treeify了,大部分内容都在注解中

final void treeify(Node<K,V>[] tab) {
            TreeNode<K,V> root = null;
            for (TreeNode<K,V> x = this, next; x != null; x = next) {
                next = (TreeNode<K,V>)x.next;
                x.left = x.right = null;
                if (root == null) {
                    x.parent = null;
                    x.red = false;
                    root = x;
                }
                else {
                    K k = x.key;
                    int h = x.hash;
                    Class<?> kc = null;
                    //遍历root,把节点x插入到红黑树中,执行先插入,然后进行红黑树修正
                    for (TreeNode<K,V> p = root;;) {
                        int dir, ph;
                        K pk = p.key;
                        if ((ph = p.hash) > h)
                            dir = -1;
                        else if (ph < h)
                            dir = 1;
                        else if ((kc == null &&
                                  (kc = comparableClassFor(k)) == null) ||
                                 (dir = compareComparables(kc, k, pk)) == 0)
                            dir = tieBreakOrder(k, pk);//比较k和pk的值,用于判断是遍历左子树还是右子树
                        TreeNode<K,V> xp = p;
                        if ((p = (dir <= 0) ? p.left : p.right) == null) {
                            x.parent = xp;
                            if (dir <= 0)
                                xp.left = x;
                            else
                                xp.right = x;
                            //修正红黑树
                            root = balanceInsertion(root, x);
                            //退出循环
                            break;
                        }
                    }
                }
            }
            moveRootToFront(tab, root);
        }

上面主要做的是红黑树的insert,我们知道红黑树insert后是需要修复的,为了保持红黑树的平衡,我们来看下红黑树平衡的几条性质:
1.节点是红色或黑色。
2.根是黑色。
3.所有叶子都是黑色(叶子是NIL节点)。
4.每个红色节点必须有两个黑色的子节点。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点。)
5.从任一节点到其每个叶子的所有简单路径都包含相同数目的黑色节点。

balanceInsertion

当insert一个节点之后为了达到平衡,我们可能需要对节点进行旋转和颜色翻转(上面的balanceInsertion方法)。具体操作这里就不细讲了,对红黑树的修复还不是很清楚的同学可以去参考下数据结构与算法分析这本书,我将在后面写一篇关于红黑树关于java实现的相关文章。

static <K,V> TreeNode<K,V> balanceInsertion(TreeNode<K,V> root,
                                                    TreeNode<K,V> x) {
            //插入的节点必须是红色的,除非是根节点                                            
            x.red = true;
            //遍历到x节点为黑色,整个过程是一个上滤的过程
            //xp=x.parent;xpp=xp.parent;xppl=xpp.left;xppr=xpp.right;
            for (TreeNode<K,V> xp, xpp, xppl, xppr;;) {
                if ((xp = x.parent) == null) {
                    x.red = false;
                    return x;
                }
                //如果xp的黑色就直接完成,最简单的情况
                else if (!xp.red || (xpp = xp.parent) == null)
                    return root;
                //如果x的父节点是x父节点的左节点
                if (xp == (xppl = xpp.left)) {
                    //x的父亲节点的兄弟是红色的(需要颜色翻转)
                    if ((xppr = xpp.right) != null && xppr.red) {
                        //x父亲节点的兄弟节点置成黑色
                        xppr.red = false;
                        //父几点和其兄弟节点一样是黑色
                        xp.red = false;
                        //祖父节点置成红色
                        xpp.red = true;
                        //然后上滤(就是不断的重复上面的操作)
                        x = xpp;
                    }
                    else {
                        //如果x是xp的右节点整个要进行两次旋转,先左旋转再右旋转
                        if (x == xp.right) {
                            root = rotateLeft(root, x = xp);
                            xpp = (xp = x.parent) == null ? null : xp.parent;
                        }
                        if (xp != null) {
                            xp.red = false;
                            if (xpp != null) {
                                xpp.red = true;
                                root = rotateRight(root, xpp);
                            }
                        }
                    }
                }
                //以左节点镜像对称就不做具体分析了 
                else {
                    if (xppl != null && xppl.red) {
                        xppl.red = false;
                        xp.red = false;
                        xpp.red = true;
                        x = xpp;
                    }
                    else {
                        if (x == xp.left) {
                            root = rotateRight(root, x = xp);
                            xpp = (xp = x.parent) == null ? null : xp.parent;
                        }
                        if (xp != null) {
                            xp.red = false;
                            if (xpp != null) {
                                xpp.red = true;
                                root = rotateLeft(root, xpp);
                            }
                        }
                    }
                }
            }
        }
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